4.4.2. Теория Фокса и Ли

Более строгая теория плоскопараллельного резонатора приведена Фоксом и Ли [6], которые решали эту задачу в так называемом скалярном приближении, нередко используемом в оптике. В этом приближении электромагнитное поле предполагается почти поперечным и однородно поляризованным (например, линейно или по кругу). Поле волны можно записать в виде скалярной величины представляющей, скажем,

амплитуду электрического (или магнитного) поля. Предположим, что является некоторым произвольным распределением поля на зеркале 1 (рис. 4.20). Тогда благодаря дифракции это распределение вызовет соответствующее распределение поля на зеркале 2, выражение для которого можно получить с помощью дифракционного интеграла Кирхгофа [7]. При этом в произвольной точке зеркала 2 поле дается выражением

где — расстояние между точками и — угол, который отрезок составляет с нормалью к поверхности зеркала в точке — элемент поверхности в точке

Рис. 4.20. К расчету мод плоскопараллельиого резонатора с помощью дифракционного интеграла Кирхгофа.

В выражении (4.73) интеграл вычисляется по всей поверхности зеркала 1. Следует заметить, что выражение (4.73) нетрудно понять как математическую формулировку интуитивных представлений, составляющих принцип Гюйгенса: каждый элемент поверхности 1 можно рассматривать как источник сферической волны (так называемая «элементарная волна Гюйгенса»), причем поле на поверхности 2 обусловлено суперпозицией этих сферических элементарных волн. Множитель в (4.73) — это «коэффициент наклона», который имеет указанную форму в теории Кирхгофа, в то время как в теории Френеля он принимает более простой вид Множитель перед интегралом Френеля — Кирхгофа — это нормирующий коэффициент, получаемый из строгого теоретического рассмотрения. В частности, множитель — имеет интересную физическую интерпретацию, согласно которой испускаемая элементарная волна сдвинута по фазе на по сравнению с полем на поверхности 1.

Вместо того чтобы изучать общее распределение рассмотрим распределение соответствующее моде резонатора. В этом случае распределение поля на зеркале 2, вычисленное по формуле (4.73), с точностью до некоторого постоянного множителя должно быть снова равно Таким образом, в соответствии с (4.73) получаем следующее выражение:

где а — постоянная величина. Выражение (4.74) представляет собой однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Собственные решения этого уравнения определяют распределения поля на зеркалах резонатора, соответствующие его модам. Поскольку в (4.74) интегральный оператор неэрмитов, собственные значения не являются вещественными и, следовательно, как амплитуда, так и фаза имеют непосредственный физический смысл. Если положить то можно сразу показать, что величина определяет относительные потери мощности за проход, обусловленные дифракцией. Величина представляет собой запаздывание волны по фазе при распространении ее от одного зеркала до другого; это становится еще более очевидным, если вспомнить о том, что множитель был опущен в обеих частях интегральных уравнений (4.73) и (4.74). Таким образом, величина представляет собой запаздывание по фазе при полном проходе резонатора и зависит от волнового числа т. е. от длины волны. Приравняв целым числам, умноженным на мы получим резонансные частоты (как в простом случае, рассмотренном в разд. 4.1). Таким образом, мы видим, что собственные решения и соответствующие собственные значения уравнения (4.74) определяют все величины, представляющие интерес, а именно распределение поля на зеркалах, резонансные частоты и дифракционные потери. Если известно распределение поля на зеркалах, то с помощью уравнения (4.73) можно вычислить

поле в любой точке внутри (стоячая волна) и вне (бегущая волна) резонатора.

При , т. е. в том случае, когда длина резонатора существенно больше его поперечных размеров, уравнение (4.74) можно значительно упростить. Действительно, в амплитудном множителе под знаком интеграла можно положить Чтобы получить соответствующее выражение для фазового множителя запишем в виде

где мы разложили в ряд выражение, стоящее под знаком квадратного корня. При выполнении условия остаточным членом ряда можно пренебречь. Поскольку представляет собой сходящийся знакопеременный ряд, его величина не превышает первого члена. Отсюда следует, что для выполнения условия достаточно, чтобы выполнялось неравенство или где — число Френеля. Таким образом, при выполнении двух условий можно записать следующее приближенное выражение:

Используя это выражение и безразмерные параметры

интегральное уравнение (4.74) можно переписать в безразмерном виде:

где

Для зеркал квадратной или прямоугольной формы в уравнении (4.78) можно разделить переменные. Таким образом, запишем

При этом из (4.78) получим следующие два уравнения для

Можно показать, что функция представляет собой распределение поля в резонаторе, образованном двумя плоскопараллельными зеркалами длиной в направлении оси х и бесконечно протяженными в направлении оси у (ленточные зеркала). Аналогичная интерпретация справедлива и в отношении функции Мы будем различать собственные функции и собственные значения уравнений (4.81) с помощью соответствующих индексов и I. Таким образом, согласно определениям (4.80), имеем

Для круглых зеркал рассмотрение проводится почти аналогично. Однако в этом случае более удобно записать уравнение (4.74) в цилиндрических, а не в прямоугольных координатах, и в новой системе координат переменные опять можно разделить.

Хотя уравнения (4.81) выглядят гораздо проще, чем исходное уравнение (4.74), они не имеют аналитического решения. Фокс и Ли решили эти уравнения с помощью компьютера для нескольких значений числа Френеля Эти авторы использовали метод итераций, основываясь на следующем физическом соображении. Рассмотрим волну, распространяющуюся в прямом и обратном направлениях в резонаторе, и предположим, что в некоторый момент времени распределение поля на зеркале 1 известно. Распределение поля на зеркале 2 можно при этом вычислить с помощью (4.81а) по известному распределению поля Действительно, если в правой части

уравнения (4.81а) функцию заменить на и затем выполнить интегрирование, то мы получим функцию соответствующую первому проходу резонатора. Поскольку распределение известно, можно затем вычислить новое распределение поля на зеркале 1, соответствующее второму проходу, и т. д. Фокс и Ли показали, что после достаточно большого числа проходов, независимо от первоначального распределения поля на зеркале 1, достигается такое распределение поля, которое при последующих проходах остается без изменения.

Следовательно, полученное распределение будет собственным решением уравнения (4.81а). Этот способ позволяет рассчитать также собственные значения и, следовательно, как было показано выше, дифракционные потери и резонансную частоту данной моды. Если первоначальное распределение поля представляет собой четную функцию величины то в конечном итоге мы получим четную моду, в то время как для нечетных мод первоначальное распределение поля должно быть нечетной функцией величины . В качестве примера на рис. 4.21 приведены результаты, полученные для амплитуды поля в случае, когда начальное распределение поля выбрано однородным и симметричным (т. е. ). При чтобы достичь стационарного решения, необходимо приблизительно 200 проходов, как показано на рис. 4.22. Аналогично антисимметричная мода низшего порядка получается в том случае, когда первоначальное распределение выбирается однородным и антисимметричным (т. е. при ). На рис. 4.23 представлены распределения поля полученные таким методом для двух значений числа Френеля.

Рис. 4.21. Амплитуда моды низшего порядка плоскопараллельного резонатора для трех значений числа Френеля. (Согласно Фоксу и Ли [6].)

В соответствии с представлением (4.82а) полное распределение поля можно записать в виде произведения Мода, которая соответствует случаю, когда как так и определяются решением низшего порядка (т. е. ) (рис. 4.21), называется модой . Мода получается, когда представляет собой решение низшего порядка рис. 4.21) и — решение следующего более высокого порядка (т. е. , рис. 4.23); для моды

получаем обратное соответствие. Буквы означают поперечное электрическое и магнитное поле (аббревиатура англ. слов: transverse electric and magnetic). Для этих мод как электрическое, так и магнитное поле электромагнитной волны ортогональны оси резонатора.

Рис. 4.22. Амплитуда поля в точке в зависимости от числа проходов. (Согласно Фоксу и Ли

Рис. 4.23. Амплитуда антисимметричной моды низшего порядка плоскопараллельного резонатора для двух значений числа Френеля. (Согласно Фоксу и Ли

Рис. 4.24. Дифракционные потери за один проход в зависимости от числа Френеля для плоскопараллельного резонатора. (Согласно Фоксу и Ли

Из уравнений (4.81) и (4.826) нетрудно показать, что зависит только от числа Френеля и от модовых индексов и I. Соответственно дифракционные потери будут зависеть лишь от и I. На рис. 4.24 показаны зависимости

дифракционных потерь от числа для симметричной и антисимметричной мод низшего порядка. Можно видеть, что с возрастанием потери быстро убывают. Такое поведение нетрудно объяснить, если вспомнить, что пропорционально отношению геометрического и дифракционного углов. Кроме того, такой результат можно понять, если заметить, что с возрастанием поле на краях зеркала уменьшается так, как показано на рис. 4.21 и 4.23. Действительно, именно это поле отвечает в основном за дифракционные потери. Наконец, следует заметить, что для данного числа Френеля потери для моды всегда больше, чем для моды .

Резонансные частоты можно получить, если приравнять фазу величины а целому числу, умноженному на Таким образом, используя выражение (4.79), получаем

Здесь явно указывается на то, что фаза собственного значения зависит от модовых индексов Заметим, что если волновое число зависит только от длины волны то фаза зависит как от длины волны X (в силу того, что она зависит от числа Френеля так и от модовых индексов Поэтому уравнение (4.83) позволяет вычислить резонансные длины волн X (а следовательно, резонансные частоты в виде функций от модовых индексов и т. Результаты численного расчета а, выполненного Фоксом и Ли, подтверждают, что для достаточно больших чисел Френеля значения резонансных частот, полученные этим методом, хорошо согласуются с теми, которые предсказывает соотношение (4.70). Например, для расхождение не превышает