2.4.3. Термодинамический подход Эйнштейна

В данном разделе мы проведем (по Эйнштейну) строгое вычисление величины А, которое не основывается на явном использовании квантовоэлектродинамических вычислений. В действительности этот расчет был предложен Эйнштейном задолго до развития теории квантовой электродинамики. Расчет выполняется с помощью изящного термодинамического доказательства. Предположим, что рассматриваемая среда помещена в полость черного тела, стенки которой поддерживаются при температуре Т. Как только система достигнет термодинамического равновесия, в ней установится определяемое выражением (2.18) спектральное распределение плотности электромагнитного излучения , следовательно, среда будет находиться в поле этого излучения. Помимо спонтанного излучения в среде будут происходить процессы вынужденного излучения и поглощения. Поскольку система пребывает в состоянии термодинамического равновесия, число переходов с уровня 1 на уровень 2 должно уравновешивать число переходов с уровня 2 на уровень 1. Запишем следующие равенства:

где — постоянные коэффициенты (так называемые коэффициенты Эйнштейна В). Если через обозначить равновесные населенности уровней соответственно 1 и 2, то можно написать

Кроме того, согласно статистике Больцмана,

Тогда из выражений (2.103) и (2.104) следует, что

Сравнивая это выражение с (2.18) при приходим к следующим соотношениям:

Соотношение (2.106) показывает, что вероятности поглощения и вынужденного излучения, связанные с излучением черного тела, равны друг другу. Это соотношение аналогично тому, которое было установлено совершенно иным путем для случая монохроматического излучения [см. (2.38)].

Соотношение (2.107) позволяет вычислить коэффициент А, если известен коэффициент В вынужденного излучения в поле излучения черного тела. Этот коэффициент нетрудно найти из выражения (2.39), которое справедливо для монохроматического излучения. Плотность энергии излучения черного тела с частотой от можно записать как Если предположить, что такое излучение заменяется монохроматической волной той же мощности, то соответствующая вероятность перехода получается заменой в выражении на Интегрируя это выражение в предположении, что по сравнению с распределением плотности (см. рис. 2.3) функцию можно аппроксимировать -функцией Дирака, мы получаем

Сопоставляя это выражение с (2.101) или (2.102), имеем

Отсюда и из выражения (2.107) окончательно находим

Следует заметить, что это выражение для коэффициента А в точности совпадает с выражением, полученным с помощью квантовой электродинамики. На самом деле проведенный расчет основан на термодинамике и формуле Планка (которая корректна с точки зрения квантовой электродинамики). Заметим

также, что при записи соотношения (2.103) мы использовали уравнение (1.2), т. е. предположение о том, что спонтанное излучение точно подчиняется экспоненциальному закону. Поскольку это предположение немедленно приводит к выражению (2.105), т. е. к формуле Планка, можно утверждать, что термодинамический подход Эйнштейна косвенно подтверждает экспоненциальный характер спонтанной релаксации.

Термодинамический подход Эйнштейна позволяет также исследовать другой важный аспект спонтанного излучения, а именно спектральный состав испускаемого излучения. Можно показать, что для любого перехода (т. е. при любом механизме уширения линии) спектральный состав спонтанного излучения будет тождествен спектру, наблюдаемому при поглощении. С этой целью предположим, что между рассматриваемой нами средой и стенками полости черного тела помещен идеальный фильтр, который пропускает излучение лишь в частотном интервале . В этом случае, если среда, фильтр и полость черного тела поддерживаются при одинаковой температуре Т, то отношение населенностей двух уровней будет по-прежнему даваться формулой (2.104). Плотность электромагнитного излучения в любой точке полости также будет соответствовать (2.18), и результирующий поток энергии между средой и полостью с частотой в пределах полосы пропускания должен быть равен нулю. Это означает, что энергия, испущенная средой в полосе частот шириной вблизи частоты вследствие спонтанного и вынужденного излучений, должна равняться поглощенной энергии. Чтобы выразить этот баланс энергий количественно, определим спектральный коэффициент таким образом, что число атомов, которые в единицу времени при релаксации излучают фотон частотой в интервале равно Очевидно,

Аналогично определим спектральный коэффициент таким образом, что величина равна числу переходов (актов поглощения или вынужденного излучения) в единицу времени, индуцированных полем излучения черного тела с частотой в интервале Тогда условие равновесия между излучаемой и поглощаемой энергиями можно сразу записать в виде

Используя, как и в предыдущих вычислениях, соотношения (2.104) и (2.18), получаем

Коэффициент нетрудно определить из выражения (2.39), если заметить, что можно рассматривать как коэффициент вынужденного излучения для монохроматической волны. Тогда из формул (2.39) и (2.109) находим, что может быть записана как

и из (2.113) следует, что

Последняя формула показывает, что спектр спонтанно излученной волны снова описывается функцией иными словами, это та же самая функция, что и в случае поглощения или вынужденного излучения. При этом из (2.115) мы получаем новую интерпретацию функции есть вероятность того, что частота спонтанна излученного фотона лежит в интервале .