4.8. Неустойчивые резонаторы

В предыдущем разделе мы обсудили условие устойчивости для обобщенных сферических резонаторов [см. условие (4.141)] и показали, что неустойчивые области соответствуют незаштрихованным участкам в плоскости на рис. 4.39. Неустойчивые резонаторы можно подразделить на два класса: 1) резонаторы положительной ветви, которые соответствуют условию и 2) резонаторы отрицательной ветви, которые соответствуют условию

Прежде чем продолжить рассмотрение неустойчивых резонаторов, необходимо указать здесь причины, почему эти резонаторы представляют интерес для лазерной техники. В первую очередь подчеркнем, что для устойчивого резонатора, соответствующего на плоскости точке, которая расположена не очень близко к границе неустойчивости, размер пятна в любом случае имеет тот же порядок величины, что и у конфокального резонатора (см. рис. 4.35). Отсюда следует, что при длине резонатора порядка метра и для длин волн видимого диапазона размер пятна будет порядка или меньше 1 мм. При таком небольшом сечении моды выходная мощность (или энергия) лазерного излучения, которую можно получить в одной поперечной моде, неизбежно оказывается ограниченной. Наоборот, в неустойчивых резонаторах поле не стремится сосредоточиться вблизи оси (см., например, рис. 4.6), и в режиме одной поперечной моды можно получить большой модовый объем. Однако при работе с неустойчивыми резонаторами возникает другая проблема, связанная с тем, что лучи стремятся покинуть резонатор. Поэтому соответствующие моды имеют значительно большие (геометрические) потери, чем моды устойчивого резонатора (в котором потери обусловлены только дифракцией). Тем не менее данное обстоятельство можно даже обратить в преимущества, если лучи, которые теряются на выходе из резонатора, включить в полезное выходное излучение лазера.

4.8.1. Геометрическое описание

Для того чтобы найти моды неустойчивого резонатора, начнем вычисление с использования геометрооптического приближения, как это впервые было сделано Сигменом [16]. Сначала напомним два основных результата, которые были получены для собственных решений устойчивого резонатора [см. (4.95)]:

1) амплитуда записывается в виде произведения полинома Эрмита на гауссову функцию и 2) распределение фазы соответствует сферическому волновому фронту. Наличие гауссовой

функции ограничивает размер пятна, что в большой мере объясняется фокусирующими свойствами устойчивого сферического резонатора. Кроме того, сферический волновой фронт обусловлен граничными условиями, налагаемыми сферическими зеркалами. В случае неустойчивых резонаторов решение в виде произведения эрмитовой и гауссовой функций получить невозможно, как было показано в предыдущем разделе для случая гауссовой моды низшего порядка. Поскольку пучок уже не фокусируется вблизи оси резонатора, в качестве первого приближения естественно предположить, что в этом случае решение имеет постоянную по сечению пучка амплитуду, в то время как волновой фронт остается по-прежнему сферическим.

Рис. 4.40. а — общий вид неустойчивого резонатора с выпуклыми зеркалами; б — одноторцевой неустойчивый резонатор.

Точнее говоря, моду следует рассматривать как суперпозицию двух распространяющихся навстречу друг другу сферических волн постоянной интенсивности.

После этого предварительного обсуждения рассмотрим общий случай неустойчивого резонатора, показанный на рис. 4.40, а. Как и прежде, будем предполагать, что мода образована суперпозицией двух сферических волн постоянной интенсивности, исходящих из точек Эти точки не совпадают с центрами кривизны зеркал 1 и 2, но их координаты нетрудно вычислить, используя соображение самосогласованности: сферическая волна, исходящая из точки после отражения от зеркала 2 должна давать сферическую волну, выходящую из точки и наоборот. Таким образом, координаты точек

можно получить из непосредственных вычислений, основанных на геометрической оптике. Результаты, найденные для величин указанных на рис. 4.40, а, записываются следующим образом:

Можно показать, что из этих решений устойчивым будет лишь то, которое в случае имеет знак и то, которое при имеет знак Таким образом, устойчивое решение во всех случаях можно записать как

До сих пор мы исследовали лишь конфигурации моды. Чтобы вычислить соответствующие потери, рассмотрим однонаправленный резонатор, показанный на рис. 4.40, б. Здесь принято, что диаметр зеркала 1, равный больше, чем поперечный размер сферической волны, исходящей из точки . В этом случае из резонатора мимо зеркала 2 будет выходить лишь сферическая волна, испускаемая из точки Эта сферическая волна, которая начинает свой путь от зеркала

2 диаметром (см. рис. 4.40, б), после одного полного прохода резонатора вернется к этому зеркалу, увеличенная в М раз, где . С помощью соотношений (4.145) выражение для М принимает вид

откуда видно, что коэффициент увеличения за полный проход резонатора М зависит только от параметров резонатора. Заметим, что в случае увеличение М имеет отрицательный знак, и мы должны рассматривать его абсолютную величину. Таким образом, поскольку мы приняли однородный характер освещенности, часть мощности пучка, которая выходит мимо зеркала 2, после полного прохода резонатора равна

где сечение пучка, выходящего из области 2, а сечение пучка после полного прохода резонатора. Заметим, что потери у за полный проход при отборе мощности, как и увеличение М, не зависят от диаметра зеркала

До сих пор мы рассматривали лишь одну моду (которая на самом деле представляет собой моду с наименьшими потерями). Чтобы найти моды более высокого порядка, все еще оставаясь в рамках геометрооптического приближения, рассмотрим опять однонаправленный резонатор на рис. . В этом случае зеркала квадратного сечения распределение поля на зеркале 2 можно записать в виде функции поперечных координат х и у [см. также выражение (4.80а)] как

Поле в точке с координатой после одного полного прохода определяется полем в точке х до того, как излучение совершит полный проход резонатора. Таким образом, можно написать следующие уравнения для координат х и у соответственно:

Заметим, что стоящие в правых частях уравнений (4.149) амплитудные множители учитывают тот факт, что после каждого полного прохода резонатора размеры пучка возрастают, и, следовательно, поле уменьшается в М раз. Чтобы функция представляла собой моду резонатора, потребуем выполнение равенств Из уравнений (4.149) получаем

Тогда общее собственное решение можно записать в виде а соответствующее собственное значение как Можно непосредственно убедиться в том, что система уравнений (4.150) имеет решение нулевого порядка Объединяя эти решения для координат получаем Это именно та мода, которую мы только что рассмотрели и потери которой

даются выражением (4.147). Однако нетрудно показать, что решения уравнений (4.150) более высокого порядка записываются в виде

где Соответствующие собственные значения равны

Заметим, что случай (решение нулевого порядка) соответствует решению с минимальными потерями.

Рис. 4.41. (см. скан) Конфокальные неустойчивые резонаторы, а — отрицательная ветвь; б — положительная ветвь.

В качестве особо важного класса неустойчивых резонаторов рассмотрим конфокальный резонатор. Эти резонаторы представляются в плоскости в виде двух ветвей гиперболы, показанных на рис. 4.39 штриховыми линиями [уравнение гиперболы записывается в виде Из большого разнообразия таких резонаторов только (симметричный) конфокальный

и плоскопараллельный резонаторы соответствуют границе между областями устойчивости и неустойчивости. Все прочие конфокальные резонаторы неустойчивы и могут принадлежать либо отрицательной ветви (рис. 4.41, а), либо положительной ветви (рис. 4.41, б) области неустойчивости. Как показано на рис. 4.41 и в чем можно убедиться с помощью формул (4.145), мода состоит из суперпозиции плоской волны и сферической волны, исходящей из общего фокуса Коэффициент усиления за полный проход резонатора М равен где радиусы зеркал, причем Если диаметр зеркала 1 сделать достаточно большим то из резонатора будет выходить только плоский пучок. В этом случае потери за полный проход, или относительная выходная мощность, определяются выражением (4.147).