8.2. Преобразование в пространстве; распространение гауссова пучка

В этом разделе мы ограничимся рассмотрением распространения гауссова пучка низшего порядка (мода Такие важные вопросы, как задача о распространении когерентного пучка с негауссовым поперечным распределением [для которого можно по-прежнему использовать интеграл Кирхгофа или уравнение (8.10)] и частично когерентного пучка [4], в данном разделе не затрагиваются.

Рис. 8.1. Распространение гауссова пучка.

Выше уже мы обсуждали (разд. 4.6) случай распространения гауссова пучка моды в свободном пространстве. Для удобства запишем снова выражения для размера лазерного пятна и радиуса кривизны поверхностей равных фаз:

где — размер пятна в перетяжке пучка, координата, измеряемая вдоль направления распространения пучка от перетяжки. На рис. 8.1 показано, каким образом изменяются размер лазерного пятна и поверхности равных фаз с расстоянием Подчеркнем еще раз, что характер распространения такого пучка зависит только от длины волны и размера пятна в перетяжке пучка. Вспомним также, что это можно объяснить тем,

что, если известно значение то в перетяжке известны как амплитуда, так и фаза волны (волновой фронт в перетяжке плоский). Поскольку при этом распределение поля на всей плоскости оказывается известным, мы можем применить теорию дифракции [например, интеграл Кирхгофа (4.73)] и вычислить амплитуду поля в любой данной точке пространства. Здесь мы не будем проводить такого рода вычисления и ограничимся лишь замечанием по поводу выражения (8.1а), которое выражает тот факт, что квадрат размера пятна пучка на расстоянии от перетяжки равен сумме квадратов размера пятна в перетяжке и величины которая определяется дифракцией. В конце данного раздела в качестве упражнения мы получим выражения (8.1) непосредственно из уравнений Максвелла без использования интеграла Кирхгофа.

Рис. 8.2. а — распространение гауссова пучка через линзу; б — распространение сферической волны через линзу.

Рассмотрим теперь особенности распространения гауссова пучка -моды через систему линз. На рис. 8.2 показано поведение пучка после его прохождения через линзу с фокусным расстоянием Сперва заметим, что непосредственно перед линзой размер пятна и радиус кривизны волнового фронта пучка в соответствии с (8.1) можно записать в виде

Следует также заметить, что амплитудное распределение пучка при его прохождении через тонкую линзу должно оставаться неизменным, т. е. не должно быть скачкообразного изменения размера пятна. Таким образом, можно написать следующее равенство:

где — размер пятна пучка после линзы. Для вычисления кривизны волнового фронта рассмотрим случай, когда через ту же линзу распространяется сферическая волна (рис. 8.2, б). Сферическая волна, испускаемая точечным источником

фокусируется линзой в точку изображения . Из геометрической оптики следует хорошо известное соотношение Поскольку радиусы двух сферических волновых фронтов непосредственно перед линзой и после нее равны и соответственно, можно также записать

Таким образом, в соответствии с этой формулой сферическая линза преобразует радиус кривизны падающей волны в радиус кривизны выходящей волны. Аналогичным образом радиус кривизны выходящего гауссова пучка, показанного на рис. 8.2, с, будет также определяться формулой (8.36). Следовательно, мы имеем теперь как амплитудное [с помощью формулы (8.3а)], так и фазовое [с помощью формулы (8.36)] распределения поля волны на выходе линзы. Эта волна имеет гауссово распределение по амплитуде и сферический волновой фронт, т. е. гауссов пучок остается гауссовым и после того, как он пройдет через систему (тонких) линз. Этот результат остается верным и в случае прохождения пучка через систему толстых линз, в чем можно убедиться, рассматривая толстую линзу как совокупность тонких. Зная размер пятна и радиус кривизны волнового фронта непосредственно после линзы, можно вычислить соответствующие величины в любой точке пространства. Например, размер пятна в новой перетяжке пучка и расстояние от линзы до этой перетяжки можно найти, выполняя расчеты по формулам (8.1) в обратном порядке. При некоторых прямых преобразованиях мы приходим к следующим двум выражениям:

откуда получаем . Входящая в (8.4) величина дается выражением

при этом в выражениях (8.4) можно выбрать либо оба знака плюс, либо оба минус. Выражения (8.4) и (8.5) весьма полезны при решении различных задач, связанных с распространением гауссова пучка (см. задачи 8.2 и 8.3). Здесь мы ограничимся лишь следующим замечанием: если первая перетяжка совпадает с первой фокальной плоскостью то вторая перетяжка

совпадает со второй фокальной плоскостью линзы Заметим также, что в общем случае плоскости обеих перетяжек не связаны соотношением геометрической оптики (т. е. ). Следует заметить, что данную проблему можно также решить с помощью закона ABCD для распространения гауссова пучка (см. разд. 4.6). Предположим, что

— лучевая матрица, соответствующая оптической системе между двумя плоскостями перетяжек пучка на рис. 8.2, а. Значения элементов матрицы зависят от и и их нетрудно вычислить, следуя процедуре, описанной в разд. 4.2.1. При этом комплексные параметры пучка плоскостях перетяжек связаны соотношением (4.112). В рассматриваемом случае как так и являются чисто мнимыми и записываются следующим образом:

Подстановка этих выражений в соотношение (4.112) даст два уравнения, одно из которых следует из приравнивания вещественных частей, а другое — из приравнивания мнимых. Решение этих двух уравнений приводит к (8.4).

Прежде чем закончить данный раздел, покажем в качестве упражнения, как можно вывести выражения (8.1) из уравнений Максвелла без применения интеграла Кирхгофа. В скалярном случае уравнения Максвелла приводят к следующему волновому уравнению

Монохроматическую волну можно записать в виде Подстановка этого выражения в уравнение (8.6), дает уравнение Гельмгольца

где . В случае радиально-симметричного пучка уравнение (8.7) можно записать в цилиндрических координатах:

Ищем теперь решение в виде

где мы предполагаем, что как функция координаты слабо меняется с длиной волны . Подставляя (8.9) в уравнение (8.8) и используя приближение медленноменяющейся амплитуды (т. е. считая, что получаем

Это есть искомое фундаментальное уравнение (называемое уравнением квазиоптики), которое широко применяется в теории дифракции. Его следует решать при соответствующих граничных условиях.

Чтобы решить уравнение (8.10) в нашем случае, наложим следующее граничное условие (см. рис. 8.1):

Соответственно для будем искать решение в общем виде гауссовой функции

где как а так и являются комплексными функциями координаты Прежде чем продолжить наши вычисления, покажем, какой физический смысл имеют величины Вещественная часть величины а описывает изменение амплитуды на оси пучка (где ) по мере его распространения, а мнимая часть величины а определяет фазовый сдвиг, который добавляется к фазовому сдвигу плоской волны, уже учтенному в решении (8.9). Вещественная часть величины (обозначим через связана, очевидно, с радиусом пятна пучка соотношением

Чтобы понять смысл мнимой части величины заметим, что в соответствии с выражениями (8.9) и (8.12) фаза волны имеет вид Таким образом, поверхности равной фазы, которые пересекают ось в точке должны удовлетворять условию

Это есть не что иное, как уравнение параболоида вращения, уже рассматривавшееся в разд. 4.5 [ср. выражение (8.14) и (4.102)]. Как показано в том же разделе, для точек, находящихся не

очень далеко от оси, параболоид можно аппроксимировать сферической поверхностью с радиусом кривизны

Таким образом, в соответствии с этим выражением определяет радиус кривизны эквифазной поверхности внутри пучка в точке с координатами

Теперь мы готовы к тому, чтобы подставить решение (8.12) в волновое уравнение (8.10) и использовать граничное условие (8.11). Подстановка дает

Поскольку это выражение должно быть равно нулю при любом каждый из двух членов в скобках должен быть равен нулю, т. е.

С учетом граничного условия (8.11) решение уравнения (8.17а) можно записать в виде

Подставляя эту величину в (8.18) и снова используя граничное условие (8.11), из уравнения (8.176) получаем

Вычисляя с помощью (8.18) вещественную и мнимую части величины и используя выражения (8.13) и (8.15), мы приходим к формулам соответственно (8.1а) и (8.16). С помощью (8.1а) выражение (8.19) можно записать в виде

где величина

представляет собой дополнительный фазовый сдвиг, добавляемый к обычному фазовому сдвигу плоской волны. Из (8.9), (8.12), (8.13), (8.15) и (8.20) окончательно получаем общее выражение для амплитуды поля с (4.95)]: