7.6. Направленность

Свойство направленности лазерного пучка тесно связано с его пространственной когерентностью. Поэтому сначала мы обсудим электромагнитную волну с полной пространственной когерентностью, а затем с частичной.

7.6.1. Пучки с полной пространственной когерентностью

Рассмотрим сначала волну с полной пространственной когерентностью, образованную пучком с плоским волновым фронтом кругового поперечного сечения, имеющим постоянную интенсивность по сечению (рис. 7.5, а). Вследствие дифракции такой пучок характеризуется углом расходимости

Рис. 7.5. а — расходимость (обусловленная дифракцией) пучка электромагнитного излучения с плоским волновым фронтом, круговым поперечным сечением и равномерным распределением интенсивности в поперечном сечеиии; б — метод измерения расходимости плоской волны, показанной на рис. а.

Дифракционную расходимость пучка можно понять из рис. 7.5, а, на котором изображен волновой фронт полученный из волнового фронта с помощью принципа Гюйгенса — Френеля. Можно показать, что расходимость дается выражением

где — диаметр пучка. Чтобы понять, откуда берется расходимость, давайте выясним, что произойдет, когда рассматриваемый нами пучок фокусируется с помощью линзы (рис. 7.5,б). Поскольку, как мы уже видели, пучок имеет некоторую ширину, можно показать, что его можно представить в виде набора

плоских волн, распространяющихся в несколько различных направлениях. Одна из них, распространяющаяся под углом к оси, показана на рис. 7.5, б штриховыми линиями. Как мы видим, эта волна будет фокусироваться в фокальной плоскости линзы в точке Р, которая отстоит (при малых значениях угла от оси пучка на расстояние

Таким образом, зная распределение интенсивности в фокальной плоскости, можно найти угловое распределение исходного пучка. Из теории дифракции известно [3, с. 395—398], что функция дается формулой Эйри:

где — функция Бесселя первого порядка, а (интенсивность в центре фокального пятна) равна

Здесь — мощность пучка, падающего на линзу.

Рис. 7.6. Распределение интенсивности света в фокальной плоскости, показанной на рис. 7.5, б, как функция относительного радиального расстояния (нормированного, т. е.

На рис. 7.6 приведена зависимость интенсивности от величины

Следовательно, дифракционная картина, создаваемая в фокальной плоскости линзы, состоит из круглой центральной зоны (диск Эйри), окруженной рядом колец с быстро убывающей интенсивностью. Расходимость исходного пучка обычно определяется как угловой радиус первого минимума, показанного на рис. 7.6. Таким образом, из рис. 7.6 и выражений (7.47) и (7.44) получаем соотношение (7.43). При этом можно показать, что выражение (7.43) для имеет некоторую неопределенность.

В качестве второго примера распространения пространственно-когерентного пучка рассмотрим гауссов пучок (), который можно получить с помощью устойчивого лазерного резонатора со сферическими зеркалами. Если — размер пятна в перетяжке пучка, то размер пучка и радиус кривизны волновой поверхности на расстоянии от положения перетяжки можно найти, воспользовавшись соотношениями (4.105) и (4.106).

Чтобы вычислить расходимость гауссова пучка, рассмотрим выражения (4.105) и (4.106) на большом расстоянии от перетяжки (т. е. при условии Мы видим, что на больших расстояниях Поскольку на больших расстояниях оба параметра и линейно растут с расстоянием, мы практически имеем сферическую волну, испущенную из центра перетяжки.

Рис. 7.7. (см. скан) Относительная доля полной мощности данной моды которая заключена в пределах круглой апертуры радиусом Здесь — размер пятна моды и числа возле каждой кривой соответствуют модовым индексам .

Ее расходимость может быть найдена из выражения

Сравним теперь выражения (7.48) и (7.43). Если при этом положить то при одинаковых диаметрах расходимость гауссова пучка оказывается в два раза меньше расходимости плоского пучка.

Рассмотрим гауссову моду высшего порядка . Чтобы вычислить ее расходимость, необходимо определить эффективный размер пятна этой моды. Это можно осуществить

с помощью рис. 7.7, на котором представлены расчетные значения относительной доли полной мощности для каждой поперечной моды, заключенной в пределах круглой апертуры радиусом Радиус нормирован на — размер пятна моды в плоскости апертуры. Теперь мы можем определить эффективный размер пятна как радиус пятна, в пределах которого заключено, например, мощности пучка. Этот размер пятна можно записать в виде

где — численный коэффициент, который всегда больше 1 и зависит от модовых индексов I и и значение которого нетрудно найти из рис. 7.7. Заметим, что в соответствии с данным определением коэффициент и эффективный размер пятна моды равен приблизительно Кроме того, эффективный размер пятна возрастает с увеличением модовых индексов . Определим расходимость пучка как

здесь использовано соотношение (7.49). Поскольку на больших расстояниях от положения перетяжки то выражение (7.50) принимает вид

откуда следует, что расходимость гауссовой моды высшего порядка всегда больше, чем у моды Заметим, что согласно выбранному определению эффективного размера пятна расходимость моды будет примерно в 1,16 раза больше, чем это следует из выражения (7.48). Кроме того, если мы определим эффективный размер цятна моды в плоскости перетяжки пучка как то расходимость пучка этой моды можно представить как

Подводя итог полученным результатам, можно сказать, что расходимость пространственно-когерентной волны можно записать в виде

где — соответствующим образом определенный диаметр пучка и — числовой коэффициент порядка единицы, точное значение которого зависит от распределения амплитуды поля, а также от способа, которым определены значения и Такой пучок обычно называется дифракционно-ограниченным.