7.5. Когерентность первого порядка

В гл. 1 понятие когерентности электромагнитной волны мы дали, исходя из интуитивных соображений, причем были выделены два типа когерентности — пространственная и временная. В данном разделе мы намерсвасмся более подробно рассмотреть эти типы когерентности. В действительности, как мы увидим в конце данной главы, пространственная и временная когерентности описывают когерентные свойства электромагнитной волны лишь в первом порядке.

7.5.1. Степень пространственной и временной когерентности

Для того чтобы описать свойства пучка, определим для аналитического сигнала полный класс корреляционных функций. Однако ограничимся пока рассмотрением функций первого порядка.

Предположим, что измерения аналитического сигнала проводят в некоторой точке на временном интервале . При этом можно получить произведение где и - данные моменты времени в пределах временного интервала . Если теперь эти измерения повторить большое число раз, то можно рассчитать среднее значение упомянутого произведения по всем измерениям. Это среднее значение называется средним по ансамблю и записывается в виде

В этом, а также в следующих двух разделах мы будем рассматривать ситуацию со стационарным пучком, которая, например, имеет место либо в лазере, генерирующем в непрерывном режиме одномодовое или многомодовое излучение, которое не синхронизовано по фазе, либо в тепловом источнике света, работающем в непрерывном режиме. В этих случаях по определению среднее по ансамблю будет зависеть только от интервала

между моментами времени , а не от конкретных моментов времени При этом мы имеем

здесь мы предположили, что и величина зависит лишь от . Если аналитический сигнал является не только стационарным, но и эргодичееким (условие, которое также обычно выполняется в приведенных выше случаях), то по определению среднее по ансамблю будет также и средним по времени. При этом можно написать следующее выражение:

Заметим, что легче иметь дело, возможно, с определением величины через среднее по времени, чем через среднее по ансамблю. Однако определение через среднее по ансамблю является более общим и, как мы увидим в разд. 7.5.4, с помощью выражения (7.11) его можно применить к нестационарным пучкам.

Определив корреляционную функцию первого порядка в данной точке можно определить нормированную функцию следующим образом:

Заметим, что в случае стационарного пучка в знаменателе выражения (7.14) два средних по ансамблю равны друг другу и в соответствии с (7.7) каждое из них равно средней интенсивности пучка Функция определенная выражением (7.14), называется комплексной степенью временной когерентности, в то время как ее модуль — степенью временной когерентности. Действительно, представляет собой степень корреляции между аналитическими сигналами в некоторой точке пространства для двух моментов времени, разделенных интервалом . Функция имеет следующие главные свойства:

1) в соответствии с выражением при что нетрудно показать из (7.14) с учетом соотношения (7.5); что следует из применения неравенства Буняковского — Шварца к выражению (7.14).

Теперь мы можем сказать, что если при любых значениях то пучок имеет полную временную когерентность. Для пучка непрерывного излучения это по существу означает, что флуктуации как амплитуды, так и фазы равны нулю и

сигнал имеет вид синусоидальной волны, т. е. Действительно, подстановка этого выражения в (7.14) показывает, что в этом случае Противоположный случай полного отсутствия временной когерентности наблюдается, когда следовательно, функция обращаются в нуль при Такая ситуация должна иметь место для теплового источника света с очень большой шириной полосы излучения (например, для черного тела; см. рис. 2.3). В более реалистичных ситуациях функция обычно уменьшается с ростом интервала как показано на рис. 7.2 (заметим, что, согласно упомянутому выше второму свойству, является симметричной функцией параметра Таким образом, можно определить характерное время Ткогер (называемое временем когерентности) как время, за которое величина уменьшается вдвое, т. е. . Очевидно, для полностью когерентной волны в то время как для полностью некогерентной волны Заметим, что можно также определить длину временной когерентности как

Рис. 7.2. Возможная зависимость степени пространственном когерентности Время когерентности можно определить как полуширину кривой на полувысоте.

Аналогичным образом можно определить корреляционную функцию первого порядка между двумя различными точками в один и тот же момент времени;

Можно также определить соответствующую нормированную функцию

Величина называется комплексной степенью пространственной когерентности, а ее модуль — степенью пространственной когерентности. Действительно, в этом случае

представляет собой меру корреляции между аналитическими сигналами в двух точках пространства в один и тот же момент времени. Заметим, что из неравенства Буняковского — Шварца следует Волна обладает полной пространственной когерентностью, если для любых двух точек условии что они лежат на том же самом волновом фронте или на волновых фронтах, расстояние между которыми много меньше, чем длина когерентности Однако чаще имеет место ситуация, характеризуемая частичной пространственной когерентностью. Это означает, что если координата фиксирована, то с увеличением разности величина как функция координаты уменьшается от 1 (значения, которого она достигает при до 0. Таким образом, значение может быть больше какого-то данного значения (например, ) в пределах некоторой характерной области на волновом фронте вблизи точки заданной вектором Назовем эту область областью когерентности волны в точке волнового фронта.

Понятия пространственной и временной когерентностей можно объединить посредством взаимной функции когерентности, определяемой следующим образом:

которую можно также записать в нормированном виде:

Эта функция, называемая комплексной степенью когерентности, является мерой когерентности между двумя различными точками волны в разные моменты времени. Для квазимонохроматической волны из выражений (7.5) и (7.14) следует, что

где и — медленноменяющиеся функции, т. е.