4.2. Некоторые разделы геометрической и волновой оптики

Прежде чем приступить к подробному обсуждению оптических резонаторов, уместно рассмотреть в этом разделе некоторые вопросы геометрической и волновой оптики, которые обычно

не входят в элементарные учебники по оптике, но которые составили бы весьма полезный фундамент для данной главы. Таким образом, в разд. 4.2.1 мы дадим введение в матричную формулировку геометрической оптики в рамках приближения параксиальных лучей. В разд. 4.2.2 и 4.2.3 рассмотрим многочисленные интерференционные явления, которые имеют место соответственно в интерферометре Фабри — Перо и многослойном диэлектрическом покрытии.

4.2.1. Матричная формулировка геометрической оптики

Рассмотрим луч света, который либо проходит через обратимый и поляризационно-независимый оптический элемент (например, линзу или зеркало), либо отражается от него. Если луч распространяется приблизительно вдоль оси то лучевой вектор на данной входной плоскости оптического элемента (рис. 4.7) можно описать двумя параметрами: его радиальным смещением от оси и угловым смещением

Рис. 4 7. К матричному представлению распространения луча через произвольный оптический элемент.

Аналогичным образом лучевой вектор на выходной плоскости можно определить его радиальным и угловым смещениями. В приближении параксиальных лучей угловые смещения 0 предполагаются достаточно малыми, так что мы можем записать . В этом случае выходные и входные переменные связаны друг с другом линейным преобразованием. Таким образом, если положить то мы имеем следующие соотношения:

где А, В, С и D — постоянные, характеризующие данный оптический элемент. Поэтому естественно записать (4.4)

в матричном виде:

где матрица ABCD полностью характеризует данный оптический элемент в приближении параксиальных лучей.

Рис. 4.8. К вычислению АВСД-матрицы для случаев свободного распространения луча (а), распространения через линзу (б) и отражения от сферического зеркала (в).

В качестве первого и простейшего примера рассмотрим свободное распространение луча на расстояние в данной среде с показателем преломления (рис. 4.8, а). Если входная и выходная плоскости расположены в непосредственной близости от данной среды, но в среде с показателем преломления, равным единице, то

и соответствующая AВСD-матрица запишется в виде

В качестве следующего примера рассмотрим распространение луча через линзу с фокусным расстоянием (будем считать положительным для собирающей линзы). Для тонкой линзы, очевидно, имеем (рис. 4.8, б)

Второе соотношение получается из хорошо известного закона геометрической оптики, а именно с учетом того, что Используя соотношение (4.8а), находим

В соответствии с (4.8а) и (4.86) АВСD-матрица в этом случае запишется в виде

Третий пример представляет собой отражение луча сферическим зеркалом с радиусом кривизны (будем считать положительным для вогнутого зеркала). В этом случае плоскости выбирают таким образом, что они совпадают одна с другой и располагаются непосредственно перед зеркалом. За положительное направление оси берется направление слева направо для падающего вектора и справа налево для отраженного. С учетом этих соглашений лучевая матрица вогнутого зеркала с радиусом кривизны , следовательно, фокусным расстоянием совпадает с матрицей для положительной линзы с фокусным расстоянием Таким образом, лучевая матрица запишется в виде

В качестве общего замечания, которое справедливо во всех трех рассмотренных случаях, укажем на то, что определитель AВСD-матрицы всегда равен единице, т. е.

В табл. 4.1 мы привели лучевые матрицы для рассмотренных выше оптических элементов, а также для сферической границы раздела двух диэлектриков (задача 4.1). Заметим, что

определитель ABCD-матрицы равен единице только тогда, когда показатели преломления на входной и выходной плоскостях одинаковы.

Таблица 4.1. (см. скан) Лучевые матрицы для некоторых широко распространенных случаев

Если известны матрицы элементарных оптических компонентов, то полную матрицу сложной оптической системы нетрудно получить путем разбиения ее на эти элементарные компоненты. Действительно, предположим, что внутри данного оптического элемента можно рассмотреть промежуточную плоскость с координатой (рис. 4.9) таким образом, что две ABCD-матрицы между плоскостями а также между плоскостями известны. Если координаты лучевого вектора на плоскости обозначать через то, очевидно, можно написать

Если в (4.126) подставить выражение (4.12а) для вектора то получим

Таким образом, полную ABCD-матрицу можно получить перемножением ABCD-матриц элементарных оптических компонентов. Заметим, что порядок, в котором матрицы располагаются в произведении, является обратным по отношению к порядку, в котором световой луч проходит соответствующие оптические элементы.

Рис. 4.9. Распространение луча через три различные плоскости в случае, когда две матрицы между плоскостями а также плоскостями известны.

В качестве первого и, возможно, тривиального примера рассмотрим в среде с показателем преломления свободное распространение на расстояние за которым следует опять свободное распространение на расстояние . В соответствии с (4.7) общее матричное уравнение можно записать в виде

Применяя хорошо известные правила перемножения матриц, нетрудно показать, что произведение двух квадратных матриц дает результирующую матрицу:

Это вычисление подтверждает тот очевидный вывод, что результирующее распространение эквивалентно свободному распространению на расстояние . В качестве менее

тривиального и более полезного примера рассмотрим свободное распространение на расстояние (в среде с показателем преломления с последующим отражением от зеркала с радиусом кривизны . В соответствии с (4.7), (4.10) и (4.13) результирующая АBCD-матрица запишется в виде

Заметим, что определители обеих матриц (4.15) и (4.16) снова равны единице, причем это выполняется для произвольной последовательности оптических элементов, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей.

Рис. 4.10. Распространение сферической волны, исходящей из точки через произвольный оптический элемент, описываемый данной АBCD-матрицей.

Представленная выше матричная формулировка может быть весьма полезной для описания оптического резонатора в приближении геометрической оптики. Этот подход мы применим в разд. 4.7.3 для исследования устойчивости оптического резонатора из двух сферических зеркал.

Матричная формулировка полезна не только для описания поведения луча, проходящего через оптическую систему, но также и для изучения распространения сферической волны. Действительно, рассмотрим сферическую волну, исходящую из точки рис. 4.10 и распространяющуюся вдоль оси в положительном направлении. После прохождения оптического элемента, описываемого данной АBCD-матрицей, эта волна преобразуется в новую сферическую волну с центром в точке . Рассмотрим два сопряженных луча и двух сферических волн. Радиусы кривизны сферических волн на входной и на выходной плоскостях оптического элемента даются выражениями

Заметим, что в (4.17) мы использовали соглашение, что является положительной величиной, если центр кривизны находится слева от волнового фронта. Из выражений (4.4) и (4.17) имеем

Выражение (4.18) является весьма важным результатом, поскольку оно устанавливает простое соотношение между радиусом кривизны выходящей волны с радиусом кривизны входящей волны посредством элементов ABCD-матрицы данного оптического элемента. В качестве первого элементарного примера рассмотрим свободное распространение сферической волны между точками с координатами 21 И 22 на рис. 4.11, а. С помощью выражения (4.7), полагая в нем и используя (4.18), получаем

что является очевидным результатом. Теперь обратимся к сферической волне, проходящей через тонкую линзу (рис. 4.11, б). Из выражений (4.9) и (4.18) находим соотношение

это есть не что иное, как знакомое правило геометрической оптики

Рис. 4.11. Распространение сферической волны в свободном пространстве (а) и через линзу (б).

Хотя два примера на рис. 4.11 представляют собой весьма элементарные применения выражения (4.18), полезность этого выражения можно полностью оценить, если рассмотреть прохождение сферической волны через более сложную оптическую систему, состоящую, скажем, из последовательности линз и промежутков между ними. В этом случае радиус кривизны выходящей волны опять определяется выражением (4.18), а полная AВСD-матрица будет равна произведению элементарных

матриц каждого оптического элемента. В разд. 4.5 будет показано, что обобщение выражения (4.18) является очень мощным средством для описания распространения лазерного пучка.