4.7.3. Условие устойчивости

Получим сначала условие устойчивости с помощью геометрической оптики. Обратимся к рис. 4.38 и рассмотрим луч, выходящий из точки принадлежащей некоторой плоскости внутри резонатора. После отражения на зеркалах 2 и 1 этот луч пересечет плоскость в точке Если координаты точек относительно оси резонатора, а — углы, которые эти лучи образуют с осью резонатора, тогда в соответствии

с (4.5) можно написать следующее соотношение:

где AВСD-матрица — это матрица преобразования лучей, соответствующая полному проходу резонатора. Луч, выходящий из точки гпосле двух отражений, пересечет плоскость в точке координаты которой определяются выражением

Рис. 4.38. Применение матричного метода для нахождения условия устойчивости произвольного сферического резонатора.

Таким образом, после полных проходов луча через резонатор координаты точки запишутся в виде

Резонатор будет устойчивым, если при любом выборе исходной точки точка с увеличением не будет удаляться на бесконечно большое расстояние от оси. Это означает, что матрица

не должна расходиться с увеличением Поскольку определитель матрицы равен единице, из матричного исчисления [13] получаем

где

Отсюда следует, что для того, чтобы матрица (4.134) не расходилась, должно выполняться неравенство

В самом деле, если это неравенство не выполняется, то угол в будет комплексным числом и должен неограниченно увеличиваться с

Чтобы найти условие устойчивости данного резонатора, мы должны теперь определить соответствующую ему ABCD-матрицу. Если плоскость на рис. 4.38 расположить непосредственно перед зеркалом 1, то результирующая матрица будет равна произведению следующих четырех матриц. Первая из них описывает свободное распространение от зеркала 1 до зеркала

2, вторая — отражение от зеркала 2, третья — свободное распространение от зеркала 2 до зеркала 1 и четвертая — отражение от зеркала 1. Тогда из выражения (4.16) получаем

Перемножение матриц дает соотношение

которое можно преобразовать к виду

Поскольку условие (4.136) можно записать в эквивалентном виде как

отсюда с учетом соотношения (4.139) окончательно получаем очень простое неравенство, выражающее условие устойчивости резонатора:

Такое же условие устойчивости, как и (4.141), можно получить, если вместо геометрооптических соображений использовать волновую оптику. Действительно, волновая оптика позволила нам определить размеры пятен на зеркалах, а именно получить формулы (4.126). Следовательно, если условие (4.141) не выполняется, то будут иметь мнимые значения, т. е. для данного резонатора невозможно получить устойчивое решение в виде гауссова пучка. Таким образом, условие (4.141) одновременно выражает как геометрооптическое условие устойчивости, так и условие, при котором в данном резонаторе можно наблюдать устойчивую моду . То, почему эти два условия совпадают, можно понять с помощью закона описывающего

распространение гауссова пучка. В самом деле, пусть исходный комплексный параметр пучка в плоскости на рис. 4.38, тогда в соответствии с (4.112) комплексный параметр после полных проходов резонатора запишется в виде

где матрица с элементами определяется следующим образом:

Поэтому, если матричные элементы неограниченно увеличиваются при , т. е. условие (4.141) не выполняется, то параметр будет также неограниченно увеличиваться независимо от того, какое значение имел исходный параметр

Рис. 4.39. Диаграмма устойчивости на плоскости для произвольного сферического резонатора. Область устойчивости соответствует заштрихованным частям на рисунке. Штриховые кривые соответствуют возможным конфигурациям конфокальных резонаторов.

Следовательно, в этом случае не может существовать самовоспроизводящийся гауссов пучок.

Условие устойчивости (4.141) удобно представить графически в плоскости как показано на рис. 4.39. На этом

рисунке устойчивым резонаторам соответствуют заштрихованные области. Особенно интересный класс сферических резонаторов соответствует точкам прямой линии образующей с осями угол 45°. Эта прямая отвечает резонаторам с зеркалами одинаковой кривизны (симметричные резонаторы). В качестве частных случаев этих симметричных резонаторов укажем, что тот из них, который отвечает какой-либо из точек А, В и С на этом рисунке, является соответственно концентрическим, конфокальным и плоским резонатором. Как мы видим, все эти три резонатора лежат на границе, разделяющей области устойчивости и неустойчивости. Концентрический резонатор имеет следующие недостатки: 1) очень небольшой размер пятна в центре резонатора (рис. 4.2), что может приводить к нежелательным эффектам в лазерах большой мощности, и 2) высокую чувствительность к несоосности зеркал. Поэтому концентрические резонаторы применяются довольно редко. В конфокальном резонаторе размер пятна [см. (4.91)] также слишком мал, чтобы можно было эффективно использовать все поперечное сечение лазерной среды. Поэтому конфокальные резонаторы применяются тоже редко. Высокую эффективность использования поперечного сечения можно получить в плоскопараллельных резонаторах (см. рис. 4.21). Однако эти резонаторы, как и концентрические, весьма чувствительны к несоосности зеркал. По различным упомянутым выше причинам наиболее широко применяемые лазерные резонаторы образованы либо двумя вогнутыми зеркалами с большими радиусами кривизны (превышающими длину резонатора, например, в 2—10 раз), либо плоским зеркалом и вогнутым зеркалом с большим радиусом кривизны. Эти резонаторы дают несколько больший размер пятна, чем конфокальный резонатор (см. рис. 4.35), и обладают умеренной устойчивостью к несоосности зеркал. На диаграмме рис. 4.39 таким резонаторам соответствует область устойчивости вблизи точки С. Если же небольшой размер пятна на одном из зеркал не приводит к осложнениям (например, маломощный Не—Ne-лазер), то хорошие результаты дает почти полусферическая конфигурация где см. также рис. 4.5). Эта конфигурация обладает наименьшей чувствительностью к разъюстировке, чем любая из указанных выше. Однако, поскольку занимаемый модой объем имеет по существу коническую форму (см. рис. 4.5), такая мода неэффективно использует всю имеющуюся инверсию населенностей. Это обстоятельство еще раз указывает на то, что данная конфигурация больше подходит для маломощных лазеров, когда в получении высокого КПД нет необходимости.