5.3.6. Два числовых примера

Рассмотрим в качестве первого примера непрерывный Nd : YAG-лазер. Активной средой здесь являются ионы в кристалле (этот кристалл носит название , сокращение англ, слов yttrium aluminum garnet [9, 10]). Ионы замещают в кристалле некоторые ионы Более подробно этот лазерный материал рассматривается в гл. 6, Здесь же достаточно отметить, что такой лазер работает по четырехуровневой схеме и его длина волны излучения мкм (ближняя ИК-область спектра). Предположим, что концентрация ионов составляет ионов замещен ионами это означает, что населенность основного состояния самого нижнего уровня состояния 4/9/2) равна ионов При этом значении концентрации время жизни верхнего лазерного уровня (зависимость времени жизни от концентрации обусловлена концентрационной зависимостью скорости релаксации безызлучательного канала) составляет с. По сравнению с этим временем время жизни нижнего лазерного уровня намного меньше и условие (5,25), несомненно, выполняется, Для того чтобы вычислить эффективное сечение, заметим, что верхний лазерный уровень в действительности состоит из двух сильно связанных уровней, разделенных расстоянием (см, рис. 6.2), Генерация происходит между подуровнем верхнего уровня и подуровнем нижнего (11/2) лазерного уровня. Сечение этого перехода Однако, поскольку между двумя подуровнями верхнего состояния имеется сильная связь, эффективное сечение в соответствии с формулой (2,170а) равно

где функция распределения населенности для подуровня

Рассмотрим теперь лазерную систему, показанную на рис. 5,14, и предположим, что накачка стержня осуществляется криптоновой лампой высокого давления с эллиптической конфигурацией осветителя.

Рис. 5.14. Возможная схема резонатора непрерывного Nd: YAG-лазера.

Типичная кривая зависимости выходной мощности Р (при многомодовой генерации) от входной мощности , подводимой к криптоновой лампе, должна иметь вид, представленный на рис, 5.15 [11], Если исключить область входных мощностей непосредственно вблизи порога, то экспериментальные точки на рис. 5.15 действительно показывают линейную зависимость выходной мощности от входной в соответствии с формулой (5.33). Наличие нелинейного участка вблизи порога скорее всего обусловлено фокусирующим действием эллиптического осветителя (см. разд. 3.2.3 в гл. 3), так как вследствие этого генерация вначале возникает только в центре лазерного стержня, Экстраполяция линейного участка кривой дает для пороговой мощности накачки значение кВт. Этот участок может быть описан следующим выражением:

Рис. 5.15. Зависимость выходной мощности Р непрерывного излучения от входной мощности лампы в мощном Nd : YAG-лазере. (Согласно Кёхиеру

Теоретическую зависимость выходной мощности нетрудно получить из (5,33), если учесть, что генерация происходит по всему сечению стержня, т. е. мы можем положить Используя приведенные выше значения получаем

а поскольку в соответствии с выражением (5.33) находим что хорошо согласуется с экспериментальной кривой.

Чтобы можно было сравнить значения пороговой мощности и дифференциального полученные экстраполяцией экспериментальных данных, с соответствующими теоретическими значениями, необходимо знать величину у, точнее . В данном случае, поскольку выражение (5.35) с помощью (5.8) можно записать в виде

где — коэффициент отражения выходного зеркала. Поскольку хорошее многослойное зеркальное покрытие имеет коэффициент поглощения меньше 0,5%. мы пренебрегли здесь поглощением зеркала Нели провести несколько измерений пороговой мощности накачки при различных коэффициентах отражения зеркала то должна получиться линейная зависимость от Именно такая зависимость и наблюдается в эксперименте, как это видно из рис. 5.16. Экстраполяция прямой линии на рис. 5.16 до значения определяет в соответствии с (5.60) величину внутренних потерь. Таким способом мы получаем , следовательно, полные потери

Рис. 5.16. Пороговая мощность накачки как функция коэффициента отражения зеркала. (Согласно Кёхнеру [9].)

Поскольку внутренние потери известны, из выражения (5.36) можно найти КПД накачки Определим дифференциальный из кривой на рис. 5.11 и, выбрав (где мкм, а мкм — длина волны первой полосы накачки Nd: YAG; см. рис. 3,5, б), получаем что вполне соответствует рассматриваемому типу системы накачки (см. также табл. 3.1 в гл. 3). Если известны полные потери, то можно также рассчитать пороговую инверсию населенностей. Из соотношения (5.26) находим

Таким образом, т. е. действительно инверсия населенностей составляет лишь очень небольшую долю полной населенности.

Вычислим теперь оптимальное пропускание выходного зеркала в случае, когда накачка в три раза превышает пороговую когда входная мощность, подводимая к лампе, составляет 6,6 кВт. Из выражения (5.45) с учетом (5.27) и (5.31) тогда следует, что хкаа Таким образом, из (5.46) и (5.44) получаем что соответствует величине оптимального пропускания Эта величина очень близка к значению пропускания зеркала, используемого в рассматриваемом примере.

В качестве последней задачи вычислим среднюю выходную мощность лазера, работающего в режиме одной моды при входной мощности накачки лампы Прежде всего из (4.106) находим, что размер пятна на плоском зеркале резонатора, показанного на рис. 5.14, составляет

0,73 мм, где — радиус кривизны вогнутого зеркала, длина резонатора. Предположим, что для осуществления генерации на моде в резонатор вблизи сферического зеркала помещена круглая диафрагма достаточно малого диаметра , чтобы предотвратить генерацию на моде Следовательно, полные потери этой последней моды должны достигать по крайней мере величины а дифракционные потери из-за введения диафрагмы должны составлять Поэтому дифракционные потери за полный проход резонатора равны что в соответствии с (5.7в) при полном проходе резонатора дает потери Чтобы найти требуемый размер диафрагмы, заметим, что потери после полного прохода резонатора, показанного на рис. 5.14, оказываются такими же, как и при одном проходе в симметричном резонаторе, образованном двумя одинаковыми зеркалами с радиусами кривизны расположенными друг от друга на расстоянии и с диафрагмой внутри резонатора диаметром . Из рис. 4.37, б видно, что, поскольку и потери должны составлять необходимо, чтобы откуда получаем размер диафрагмы мм. При этом из рис. 4.37, а мы видим, что при такой диафрагме мода эквивалентного симметричного резонатора имеет потери, равные Поэтому они также равны дифракционным потерям нашего резонатора за полный проход, а это означает, что в соответствии с (5.7в) потери за один проход равны Таким образом, полные потери моды возрастают до и пороговая мощность накачки должна быть равной кВт. Из (5.33) получаем следующее среднее значение выходной мощности при где

Однако следует заметить, что увеличение радиуса кривизны зеркала и длины резонатора позволяет получить значительно большую площадь моды по-видимому, вплоть до . В этом случае можно добиться значительно более высокой выходной мощности в режиме генерации моды, а именно до 20—30 Вт.

Рис. 5.17. Возможная схема резонатора непрерывного -лазера с поперечным разрядом.

Рис. 5.18. Зависимость непрерывной выходной мощности Р мощного -лазера с поперечным разрядом от мощности подводимой к электрическому разряду.

В качестве второго примера рассмотрим -лазер высокой мощности, работающий по схеме рис. 5.17 и имеющий неустойчивый конфокальный резонатор положительной ветви. Длина резонатора см, а длина активной среды см. Как показано на рисунке, возбуждение в газе осуществляется электрическим разрядом между двумя плоскими электродами (см. также рис. 6.19). На рис. 5.18 представлена типичная зависимость выходной мощности лазера Р от входной мощности подводимой к электрическому разряду [13]. Экспериментальные точки можно аппроксимировать выражением

где Р дается в киловаттах, а Рпор — пороговая входная мощность, полученная экстраполяцией

Поскольку -лазер действует по четырехуровневой схеме, можно сравнить выражения (5.62) и (5.33). Для этого должно быть известно пропускание выходного зеркала. В приближении геометрической оптики получаем [см. (4.147)]

Здесь - увеличение за полный проход резонатора радиусы кривизны соответствующих зеркал). Для моды низшего порядка волновая теория (см. рис. 4.45) дает Выберем значение полученное в приближении геометрической оптики, так как в нашем случае оно ближе отвечает реальной ситуации благодаря следующим двум обстоятельствам: 1) эквивалентное число Френеля достаточно велико , как ожидается, потери нескольких поперечных мод сравнимы по величине (см. рис. 4.44); 2) накачка в лазере осуществляется при значительном превышении над порогом (в 2,8 раза при выходной мощности лазера см. рис. 5.18), так что в генерации может действительно участвовать большинство из упомянутых выше мод. В действительности в последующем расчете мы покажем, что значение полученное в приближении геометрической оптики, лучше согласуется с экспериментом, чем то, которое было вычислено из волновой теории. Сравнивая теперь выражения (5.62) и (5.33) с учетом значения находим кВт. Диаметр пучка в резонаторе лазера равен (см. также рис. см, откуда , следовательно, Это значение хорошо согласуется с теоретическими оценками [14].

Используя данные, приведенные на рис. 5.18, вычислим теперь (ненасыщенный) коэффициент усиления активной среды при входной мощности накачки кВт. Действительно, мы имеем

здесь — населенность уровня 2 при — населенность этого уровня при . Чтобы найти у, предположим, что потери на зеркале (за счет поглощения и рассеяния) составляют а внутренние потери отсутствуют. В этом случае из выражений (5,7) и (5,8) получаем Подставляя последнее значение в выражение (5,64), находим величину которая очень хорошо согласуется со значениями, измеренными для этого типа лазеров [15],

Сравним теперь экспериментальное значение дифференциального КПД, полученного из рис, 5,18, с теоретически предсказываемым, Положим (см. разд. 3,3,4), (см, рис. 6.10). Тогда из выражения (5,37) получаем что существенно больше экспериментального значения, определенного из рис. 5,18 . Это расхождение можно объяснить как минимум тремя различными обстоятельствами: 1) данные на рис, 5.18 относятся к системе,

работающей частично по замкнутому циклу, и в этом случае продукты разряда (большей частью и имеют склонность накапливаться в газовой смеси и уменьшать тем самым КПД накачки; 2) коэффициент заполнения может быть заметно меньше единицы; 3) сравнительно высокая температура газовой смеси может приводить к заметной населенности нижнего лазерного уровня и, следовательно, к уменьшению КПД лазера. По оказываемому воздействию последнее обстоятельство эквивалентно предположению о более медленной релаксации нижнего лазерного уровня, необходимо учитывать также эффективность релаксации нижнего лазерного уровня. Из приведенных выше соображений следует, что теоретическое значение дифференциального представляется вполне разумным и действительно уже имеются сообщения о -лазерах высокой мощности с экспериментально полученным КПД, который имеет близкое к этому значение.

В заключение вычислим оптимальную связь на выходе лазера при т. е. когда мощность накачки лазера в раза превышает пороговое значение на рис. 5.18. Поскольку из (5.46) получаем что соответствует Отсюда следует, что резонатор чрезмерно открыт. Это, возможно, сделано преднамеренно, поскольку, хотя это и приводит к небольшому уменьшению выходной мощности лазерного пучка, зато улучшает его фокусирующие свойства. Действительно, увеличение достигается за счет увеличения числа М и, следовательно, ширины кольца выходного пучка см. рис. 4.41]. Это приводит к улучшению свойств пучка при фокусировке.