5.3. Непрерывный режим работы лазера

В данном разделе мы изучим работу лазера при стационарной накачке (т. е. когда скорость накачки не зависит от времени). Поскольку, как мы увидим ниже, стационарная накачка приводит к стационарному режиму генерации, этот случай можно рассматривать как непрерывный режим работы лазера.

5.3.1. Четырехуровневый лазер

Прежде чем приступить к подробному рассмотрению непрерывного режима работы лазера, следует вывести условие, выполнение которого необходимо для того, чтобы в четырехуровневом лазере могла быть получена непрерывная генерация. С этой целью заметим, что в отсутствие генерации стационарная населенность уровня 1 должна определяться уравнением, которое выражает не что иное, как условие равновесия населенностей, приходящих на уровень 1 и уходящих с него: , где — время жизни перехода Для осуществления генерации необходимо, чтобы удовлетворялось неравенство Согласно предыдущему выражению, это означает, что

Если данное неравенство не выполняется, то работа лазера возможна в импульсном режиме лишь при условии, что длительность импульса накачки короче времени жизни верхнего уровня или сравнима с ним. Возникнув, лазерная генерация будет продолжаться до тех пор, пока число атомов, накопившихся на нижнем уровне, не станет достаточным для снятия инверсии населенностей. Поэтому такие лазеры называются лазерами на самоограниченных переходах.

Если постоянна и достаточно велика и если условие (5.25) справедливо, то в конечном счете будет выполнено условие стационарной генерации. Проанализируем теперь это условие в предположении, что т. е. мы можем считать справедливыми уравнения (5.18).

Рассмотрим сначала пороговое условие генерации лазера. Предположим, что в момент времени в резонаторе вследствие спонтанного испускания присутствует некоторое небольшое число фотонов При этом из уравнения (5.186) следует, что для того, чтобы величина была положительной, должно выполняться условие Следовательно, генерация возникает в том случае, когда инверсия населенностей достигнет некоторого критического значения определяемого выражением

при выводе которого использовались выражения (5.13). При этом критическую скорость накачки мы получаем из уравнения (5.18а), полагая в нем Таким образом, мы видим, что критическая скорость накачки соответствует ситуации, когда полная скорость накачки уровней уравновешивает скорость спонтанного перехода с уровня 2, т. е.

где предположили, что и использовали соотношение (5.26). Физический смысл условия (5.26) можно также понять, если переписать его в виде

Это условие [а следовательно, и (5.26)] означает, что должно быть достаточно большим, чтобы усиление скомпенсировало полные потери в лазере [см. также условие (1.9), в котором для простоты не учитывались потери

Если то число фотонов будет возрастать от исходного значения, определяемого спонтанным излучением, и если не зависит от времени, оно в конце концов достигнет некоторого постоянного значения Это стационарное значение и соответствующее ему стационарное значение инверсии получаются из уравнений (5.18), если в них положить Таким образом, мы имеем

Рис. 5.3. Качественная картина поведения инверсии населенностей и полного числа фотонов в резонаторе как функция скорости накачки

Эти уравнения описывают непрерывный режим работы четырехуровневого лазера. Рассмотрим их более подробно. Прежде всего следует заметить, что уравнение (5.29а) показывает, что равенство выполняется даже при . В стационарных условиях инверсия населенностей о всегда равна критической инверсии Чтобы лучше уяснить физический смысл данного утверждения, предположим, что скорость накачки возрастает от критического значения При мы имеем, очевидно,

Если же то как следует из (5.29), линейно возрастает с ростом в то время как инверсия населенностей о остается постоянной и равной критической. Иными словами, когда скорость накачки выше критической, в резонаторе лазера увеличивается число фотонов (т. е. увеличивается электромагнитная энергия в резонаторе), а не инверсия населенностей (т. е. энергия, запасенная в активной среде). Это поясняется на рис. 5.3, на котором представлены зависимости величин и от скорости накачки Заметим, что при накачке ниже пороговой и из уравнения (5.18а) получаем Но поскольку обычно выполняется условие из формулы (5.27) мы находим, что и увеличивается с практически линейно. В качестве второго замечания укажем, что с учетом формул (5.27) и (5.29а) выражение (5.296) можно записать в эквивалентном

где

— относительное превышение скорости накачки над пороговой Заметим, что как для оптической, так и для электрической накачки можно записать

где — мощность электрической накачки (приложенная к лампе или к разряду), а — ее пороговое значение. С помощью выражений (5.22), (5.26) и (5.31а) уравнение (5.30) можно переписать в несколько более удобном виде:

Прежде чем продолжить обсуждение, следует подчеркнуть, что когда мощность накачки превышает пороговую даже на весьма скромную величину, число фотонов в резонаторе обычно уже очень велико. В качестве примера рассмотрим числовые значения, соответствующие одномодовому непрерывному Nd: : YAG-лазеру (см. также разд. 5.3.6): Если положить см, то получим не и из (5.32) имеем Таким образом, даже если мы выберем то будем иметь около 1010 фотонов в резонаторе. Это означает, что в уравнении (5.1г) сразу за порогом член описывающий как вынужденное, так и спонтанное излучение, вне всякого сомнения можно аппроксимировать выражением что мы и делаем в настоящем рассмотрении. Это также означает, что число фотонов в установившемся режиме весьма нечувствительно к выбранному нами конкретному значению числа начальных фотонов в резонаторе в момент времени которые необходимы для возникновения генерации. Как мы увидим в разд. 5.3.7, эта нечувствительность оказывает сильное влияние на выходные свойства лазерного пучка.

Получим теперь выражение для выходной мощности. Из формул (5.20) и (5.32) имеем

здесь - интенсивность насыщения усиления для четырехуровневой системы [см. (2.146)]. Это выражение

согласуется с тем, которое впервые получил Ригрод [5] для случая, когда зеркало имеет стопроцентное отражение. Заметим также, что зависимость от имеет вид прямой линии, которая пересекает ось в точке . Поэтому мы можем определить дифференциальный следующим образом:

причем эта величина оказывается постоянной для данной лазерной конфигурации. С помощью предыдущего выражения и уравнений, полученных в гл. 3, можно получить полезное и поучительное выражение для которое применимо в случае как оптической, так и электрической накачки. Из выражения (5.27) с учетом формулы (3.26) или (3.43) и полагая а также где А — площадь поперечного сечения активной среды, получаем

Из трех последних выражений видно, что можно представить в наглядном виде, который позволяет разделить различные причины снижения КПД (ср. с выражением, приведенным в книге [6]):

здесь накачки; можно назвать КПД связи на выходе резонатора (ее значение 1, причем единица достигается при — коэффициент заполнения сечения активной среды; — квантовая эффективность лазера.

В качестве заключительного комментария к этому разделу мы вновь подчеркнем, что полученные нами результаты справедливы лишь тогда, когда можно считать, что уровень является пустым. Это выполняется в случае, когда где — время жизни уровня 1. Если сравнимо с то предыдущие уравнения необходимо видоизменить. Особенно простой случай реализуется тогда, когда время жизни (излучательное плюс безызлучательное) перехода равно полному времени жизни уровня 2 (т. е. ). В этом случае после несколько утомительных, но простых вычислений можно показать, что выражения (5.26), (5.29а), (5.30) и (5.33) остаются справедливыми, в то время как соотношение (5.27) в рамках приближения принимает вид

Можно также показать, что в правой части формулы (5.36) появляется пятый множитель, ограничивающий

Этот член можно назвать релаксации нижнего лазерного уровня.