5.2. Скоростные уравнения

5.2.1. Четырехуровневый лазер

Прежде всего рассмотрим лазер, работающий по четырехуровневой схеме и имеющий для простоты лишь одну полосу поглощения накачки (полоса 3 на рис. 5.1). Впрочем, последующий анализ останется без изменения, даже если мы будем иметь дело с более чем одной полосой (или уровнем) поглощения накачки, при условии, что релаксация из этих полос на верхний лазерный уровень 2 происходит очень быстро. Обозначим

населенности четырех уровней 0, 1, 2 и 3 соответственно через Будем считать, что лазер генерирует только на одной моде резонатора. Пусть — полное число фотонов в резонаторе. Считая, что переходы между уровнями 3 и 2 и уровнями 1 и 0 являются быстрыми, можно положить . Таким образом, мы имеем следующие скоростные уравнения:

В уравнении (5.1а) величина представляет собой полное число активных атомов (или молекул). В уравнении (5.16) слагаемое учитывает накачку [см. уравнение (1.10)]. Явные выражения для скорости накачки как в случае оптической, так и электрической накачки уже были получены в гл. 3. В том же уравнении член соответствует вынужденному излучению. Скорость вынужденного излучения как показано в гл. 2, действительно пропорциональна квадрату электрического поля электромагнитной волны и, следовательно, пропорциональна Поэтому коэффициент В можно рассматривать как скорость вынужденного излучения на один фотон в моде. Величина представляет собой время жизни верхнего лазерного уровня и в общем случае определяется выражением (2.123). В уравнении (5.1 в) член соответствует скорости изменения числа фотонов вследствие вынужденного излучения. Действительно, как мы уже видели, член в уравнении (5.16) представляет собой скорость уменьшения населенности за счет вынужденного излучения. Поскольку каждый акт вынужденного излучения приводит к появлению фотона, скорость увеличения числа фотонов должна быть равна где — объем, занимаемый модой внутри активной среды (точное определение модового объема дано ниже). Наконец, член [где — время жизни фотона (см. разд. 4.3)] учитывает уменьшение числа фотонов из-за потерь в резонаторе.

Рис. 5.1. Схема энергетических уровней четырехуровиевого лазера.

Строгое определение объема моды требует подробного рассмотрения, которое приводится в приложении Б. В результате мы имеем следующее определение

где — распределение электрического поля внутри резонатора, Е — максимальное значение этого поля, а интегрирование производится по объему, занимаемому активной средой. Если рассматривается резонатор с двумя сферическими зеркалами, то отношение равно вещественной части выражения (4.95). Уместно привести в качестве примера симметричный резонатор, состоящий из двух зеркал, радиусы кривизны которых много больше, чем длина резонатора. Тогда размер пятна моды будет приблизительно постоянным по всей длине резонатора и равным значению в центре резонатора. Аналогичным образом радиус кривизны эквифазных поверхностей будет достаточно большим и волновые фронты можно считать плоскими. Тогда из выражения (4.95) для моды получаем

здесь мы положили Из выражений (5.2) и (5.3) имеем

где — длина активной среды. При выводе этого выражения мы учли тот факт, что является медленно меняющейся функцией по сравнению с так что можно положить Таким образом, появление четверки в знаменателе выражения (5.4) является результатом следующих двух обстоятельств: 1) наличие множителя 1/2 обусловлено тем, что мода имеет характер стоячей волны, так что в соответствии с приведенными выше рассуждениями ; 2) еще один множитель 1/2 появляется из-за того, что — это размер пятна для амплитуды поля Е, в то время как размер пятна для интенсивности поля (т. е. для очевидно, в раз меньше.

Прежде чем продолжить наше рассмотрение, следует заметить, что в выражении (5.1 в) пренебрегается слагаемым, учитывающим спонтанное излучение. В действительности же, как отмечалось в гл. 1, генерация возникает за счет спонтанного излучения; поэтому следует ожидать, что уравнения (5.1) не дают правильного описания возникновения генерации. В самом деле, если в уравнении (5.1 в) положить в момент времени то мы получим , следовательно, генерация не сможет возникнуть. Для учета спонтанного излучения можно было бы снова попытаться, исходя из простого условия баланса, начать рассмотрение с члена который в уравнении (5.16) входит в слагаемое При этом может показаться,

что в уравнении (5.1в) слагаемое, учитывающее спонтанное излучение, должно было бы иметь следующий вид: Однако это неверно. На самом же деле, как показано в разд. 2.4.3 [см., в частности, выражение (2.115)], спонтанное излучение распределено в некотором частотном интервале и форма его линии описывается функцией Однако в уравнении (5.1 в) член, учитывающий спонтанное излучение, должен включать в себя лишь ту долю этого излучения, которая дает вклад в рассматриваемую моду. Правильное выражение для этого члена можно вывести только из квантовомеханического рассмотрения электромагнитного поля моды резонатора. Получаемый при этом результат является очень простым и поучительным [4]. В случае когда учитывается спонтанное излучение, уравнение (5.1 в) преобразуется к виду

Все это выглядит так, как будто члену, отвечающему вынужденному излучению, мы добавили «дополнительный фотон». Однако ради простоты мы не будем в дальнейшем вводить такого дополнительного члена, связанного со спонтанным излучением, а вместо этого предположим, что в начальный момент времени в резонаторе уже присутствует некоторое небольшое число фотонов Как мы увидим, введение этого небольшого числа фотонов, которое необходимо лишь для возникновения генерации, в действительности никоим образом не сказывается на последующем рассмотрении.

Займемся теперь выводом явных выражений для величины В, которая входит в уравнения (5.16) и (5.1 в). Строгое выражение для этой величины выводится снова в Приложении Б. Для большинства практических целей подходит приближенное выражение, которое можно получить, исходя из простых соображений. Для этого рассмотрим резонатор длиной в котором находится активная среда длиной с показателем преломления Можно считать, что мода резонатора образована суперпозицией двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Пусть I — интенсивность одной из этих волн. В соответствии с выражением (1.7) при прохождении волны через слой активной среды ее интенсивность изменяется на величину где а — сечение перехода на частоте рассматриваемой моды резонатора. Определим теперь следующие величины: и -коэффициенты пропускания двух зеркал резонатора по мощности; — соответствующие относительные коэффициенты потерь на зеркалах; 3) Г, — относительный коэффициент внутренних потерь за проход. Тогда изменение интенсивности за полный проход резонатора

запишется в виде

Предположим далее, что потери на зеркалах одинаковы и столь малы, что можно написать и . При этом выражение (5.5), очевидно, преобразуется к виду

Прежде чем проследовать дальше, удобно ввести новые величины у, которые можно представить как логарифмические потери за проход, а именно

Здесь и — логарифмические потери за проход, обусловленные пропусканием зеркал, а — внутренние логарифмические потери. Для краткости будем называть у, и потерями на пропускание, а — внутренними потерями. Как станет ясно в дальнейшем, благодаря экспоненциальному характеру лазерного усиления запись с помощью логарифмических потерь значительно более удобна для представления потерь в лазерах. Однако следует заметить, что, хотя для небольших значений пропускания, для больших значений пропускания это неверно. Приведем пример: если положить то получим т. е. , в то время как для имеем Следует также заметить, что с помощью выражений (5.7) можно определить полные потери за проход:

Определив логарифмические потери , подставим выражения (5.7) и (5.8) в (5.6). Вводя дополнительное условие

экспоненциальную функцию в (5.6) можно разложить в степенной ряд, и мы получаем

Разделим обе части этого выражения на интервал времени за который световая волна совершает полный проход резонатора,

т. е. на величину где определяется выражением

Используя приближение получаем

Поскольку число фотонов в резонаторе пропорционально интенсивности уравнение (5.12) можно сравнить с (5.1в). При этом получаем следующие выражения:

где

Величину V мы будем называть эффективным объемом моды резонатора. Заметим, что формула (5.136) обобщает полученное в разд. 4.3 выражение для времени жизни фотона. Кроме того, выражение (5.14) для объема резонатора справедливо лишь приблизительно. На самом деле в Приложении Б показано, что в (5.13а) следует использовать более строгое выражение для V, а именно

здесь первый интеграл берется по объему активной среды, а второй — по оставшемуся объему резонатора. Заметим, впрочем, что для симметричного резонатора с зеркалами большого радиуса кривизны оба выражения (5.14) и (5.15) дают

До сих пор наше рассмотрение было направлено на обоснование уравнения (5.1 в) и на вывод явных выражений для В и через измеряемые параметры лазера. Однако следует заметить, что мы указали также и на пределы применимости уравнения (5.1в). Действительно, при выводе уравнения (5.12) нам пришлось использовать приближение (5.9), согласно которому разница между усилением и потерями невелика. Для непрерывного лазера это условие всегда выполняется, поскольку в установившемся процессе (см. разд. 5.3.1). А вот для импульсного лазера условие (5.9) будет справедливо лишь тогда, когда лазер работает при малом превышении над порогом. Если условие (5.9) не выполняется, то неприменимы и уравнения

(5.1), и динамическое поведение лазера следует анализировать с помощью выражения (5.6), путем последовательного рассмотрения процесса проход за проходом.

Если получены явные выражения для В и и можно считать, что рассмотренные выше приближения справедливы, то уравнения (5.1) описывают как установившиеся, так и динамическое поведение четырехуровневого лазера. Следует заметить, что уравнения принято записывать не через населенность верхнего уровня а через инверсию населенностей

В силу нашего предположения о том, что релаксация с уровня 1 является быстрой, имеем и уравнения (5.1) нетрудно свести лишь к двум уравнениям в переменных

Для количественного описания работы лазера необходимо решить эти уравнения с учетом соответствующих начальных условий. Если, например, накачка включается в момент времени то начальные условия запишутся в виде , где — очень небольшое число первоначально присутствующих фотонов (например, симулирующее спонтанное испускание.

Если известно то совсем нетрудно определить выходную мощность через одно из двух зеркал резонатора. Действительно, согласно выражениям (5.136) и (5.8), можно записать

Если это выражение подставить в уравнение , то мы убеждаемся в том, что величина представляет собой скорость ухода фотонов из резонатора через зеркало 2. Следовательно, выходная мощность через зеркало 2 равна

Прежде чем закончить этот раздел, необходимо еще раз подчеркнуть, что полученные здесь результаты применимы только в случае одномодовой генерации лазера. Если же генерация лазера происходит более чем на одной моде, то расчет, вообще говоря, значительно усложняется. Рассматривая, например, генерацию лазера на двух модах, скоростные уравнения нужно было бы записать отдельно для чисел фотонов в этих двух модах. В действительности же более правильным является описание через электрические поля соответствующих мод, поскольку

такое описание позволяет учесть эффекты, обусловленные биениями между двумя модами (см. разд. 5.4.5, посвященный синхронизации мод). Однако если мы имеем дело с многомодовой генерацией, то описание можно сделать еще более простым за счет того, что мы рассматриваем полное число фотонов просуммированное по всем модам. В этом случае записанные выше уравнения все еще применимы в приближенной форме, причем объемы и V записываются теперь в виде

где А — площадь поперечного сечения той части активной среды, которую занимают поля генерируемых мод.

В качестве заключительного комментария подчеркнем, что в соответствии с выражениями (5.4) и (5.21) в любом случае можно записать, что

где — эффективная площадь поперечного сечения лазерной среды, которая равна либо либо А, в зависимости от того, генерирует ли лазер на одной или на многих модах.