7.6.2. Пучки с частичной пространственной когерентностью

Расходимость электромагнитной волны с частичной пространственной когерентностью больше, чем у пространственно-когерентной волны, имеющей такое же распределение интенсивности. Это можно понять, например, из рис. 7.5, а: если волна не является пространственно-когерентной, то вторичные волны, излученные с поперечного сечения не должны больше находиться в фазе и волновой фронт, образованный вследствие дифракции, должен иметь большую расходимость по сравнению с той, которая получается из выражения (7.43). Строгое рассмотрение этой задачи (т. е. задачи о распространении частично-когерентных волн) выходит за рамки настоящей книги, и читателю мы рекомендуем обратиться к более специализированным книгам [3, с. 508—518]. Мы же ограничимся изучением относительно простого случая пучка диаметром (рис. 7.8, а), который состоит из множества пучков (показанных на рисунке в виде заштрихованных кружков) меньшего диаметра Будем предполагать, что каждый из этих пучков меньшего диаметра является дифракционно-ограниченным (т. е. пространственно-когерентным). Тогда, если составляющие пучки взаимно некоррелированы, расходимость всего пучка в целом будет равна Если бы такие пучки были коррелированными, то расходимость была бы равна Этот последний случай фактически эквивалентен множеству антенн (маленьких пучков), которые все излучают синхронно друг с другом. После этого простого примера можно рассмотреть общий случай, когда пространственно-когерентный пучок имеет данное распределение интенсивности по его диаметру и данную область когерентности в каждой точке Р (рис. 7.8, б). По аналогии с предыдущим примером нетрудно понять, что в этом случае где — числовой коэффициент порядка единицы, значение которого зависит как от конкретного распределения интенсивности, так и от способа, каким определялась область Таким образом, понятие направленности тесно связано с понятием пространственной когерентности.

Рис. 7.8. Примеры, иллюстрирующие различные свойства расходимости когерентной и частично-когерентной волн. а — пучок диаметром D представляет собой суперпозицию множества меньших по размеру когерентных пучков диаметром d; б — пучок диаметром D и область когерентности в точке Р.

После общих замечаний о пучке с частичной пространственной когерентностью мы можем перейти к рассмотрению особенно важного случая лазерной генерации на многих поперечных модах. Таким образом, мы рассмотрим устойчивый лазерный резонатор, в котором поперечный размер активной лазерной среды значительно больше размера пятна моды распространяющейся внутри этой среды. Соответствующими примерами могут быть непрерывный или импульсный твердотельные лазеры, поэтому мы можем обратиться к случаю, показанному на рис. 5.14. Однако последующее рассмотрение применимо вообще к любому многомодовому лазеру с устойчивым резонатором. Для простоты предположим, что размер пятна в среде приблизительно равен размеру пятна в перетяжке пучка. Поскольку радиус а существенно больше, чем следует ожидать, что будет возбуждено много поперечных мод, которые заполнят поперечное сечение лазерной среды. Предполагается, что возбуждаемая мода высшего порядка ограничена до размера, который незначительно обрезается апертурой среды. Поперечные индексы этой моды можно найти из рис. 7.7, если известны максимально допустимые потери возбуждаемой моды. Предположим, например, что эти потери равны 10 %, тогда 90 % мощности этой моды высшего порядка должно проходить через лазерную апертуру. В этом случае эффективный размер пятна в соответствии с определением, данным в предыдущем разделе, должен быть равен радиусу а среды, т. е. . С помощью выражения (7.49) получаем

При данных значениях выражение (7.53) позволяет вычислить коэффициент который затем можно использовать в выражении (7.51), чтобы найти расходимость моды. Поскольку эта мода имеет самую большую расходимость, ее можно грубо оценить по полной расходимости пучка предполагая, что она равна расходимости этой моды . Из выражений (7.51) и (7.53) получаем

Выражение (7.54) полезно в ряде случаев. Если известен размер то его можно использовать для оценки ожидаемой расходимости многомодового лазера. Если размер не известен, а расходимость измерена, то из (7.54) можно получить оценку Заметим, что в соответствии с выражением (7.54) расходимость пучка многомодового лазера увеличивается с увеличением апертуры а резонатора и уменьшением размера пятна моды

От данной некогерентной лампы можно получить пространственно-когерентную волну, а именно существенно снизить ее расходимость, если использовать устройство, изображенное на рис. 7.9. Свет от лампы фокусируется на небольшой диафрагме диаметром расположенной в фокальной плоскости линзы Свет, прошедший через эту диафрагму, будет заполнять большой конус углов (сплошные линии на рис. 7.9), соответствующий фокусирующему конусу линзы Однако пучок, образующийся в результате дифракции на этой диафрагме, имеет значительно меньшую расходимость и будет таким образом занимать область, которая на рис. 7.9 заштрихована.

Рис. 7,9. Метод получения когерентного пучка от некогерентного источника (лампы).

Если теперь апертура собирающей линзы удовлетворяет условию , где — фокусное расстояние линзы, то линза будет собирать только свет, дифрагированный на диафрагме и формировать при этом когерентный пучок на выходе. Однако это доказательство является довольно упрощенным, поскольку оно использует соотношение (7.43), которое справедливо лишь в случае, когда диафрагма освещается светом, который уже является когерентным. Более строгое решение этой задачи требует изучения распространения частично-когерентных электромагнитных волн [3, с. 508—518]. Предположим для простоты (а также потому, что это нередко встречающийся на практике случай), что падающая на диафрагму волна не имеет пространственной когерентности. В этом случае из хорошо известной теоремы ван Циттерта — Цернике [3, с. 508—518] следует, что если пучок, выходящий из линзы (см. рис. 7.9), должен иметь некоторое вполне определенное значение пространственной когерентности, то диаметр линзы должен быть равен где — числовой коэффициент, который зависит от заданной нами степени когерентности. Например, если мы потребуем, чтобы степень пространственной когерентности между двумя крайними точками на краях линзы имела значение

то мы получим Это приводит к выражению

которое имеет такой же вид, как и выражение, полученное из первоначального упрощенного рассмотрения, но с другим (и фактически со значительно меньшим) числовым коэффициентом.