3.2.3. Распределение света накачки

Для того чтобы вычислить долю падающего света накачки, поглощаемую активным стержнем, необходимо знать распределение этого света в активной среде. В данном разделе такое распределение будет рассмотрено для нескольких характерных случаев. Мы увидим, что оно во многих случаях является неоднородным.

В качестве первого примера рассмотрим стержень с полированной боковой поверхностью. Предположим также, что стержень накачивается либо спиральной импульсной лампой (рис. 3.1, а), либо линейной лампой в плотноупакованной конфигурации (рис. 3.1, б) или в эллиптическом отражателе с малым эксцентриситетом, причем диаметр лампы превышает диаметр стержня. Во всех трех этих случаях можно считать, что свет падает на стержень, скажем, в точке Р (рис. 3.11) под любым углом в пределах рад, как показано на рисунке.

Кроме того, поскольку коэффициент преломления стержня обычно больше, чем коэффициент преломления окружающей среды, свет накачки, попав в стержень, стремится концентрироваться ближе к оси стержня. Это нетрудно понять, рассматривая два крайних луча 2 и 3, которые падают под углом к нормали относительно поверхности. Попадая внутрь стержня, эти лучи преломляются и становятся лучами 2 и 3, причем угол является углом преломления. Если среда, окружающая стержень, представляет собой воздух, то Следовательно, все лучи, приходящие от лампы, будут преломляться в пределах угла между лучами 2 и 3. Применяя такое же

Рис. 3.12. Радиальная зависимость плотности энергии накачки для нескольких значений коэффициента поглощения накачки (накачка монохроматическим излучением). (Данные заимствованы из работы [8].)

самое рассуждение ко всем точкам Р поверхности мы приходим к выводу о том, что внутренняя часть стержня (радиусом накачивается более сильно, чем его внешняя часть. Вычисление плотности энергии накачки в стержне существенно упрощается, если 1) рассматривать свет, падающий на стержень только в плоскости, перпендикулярной его оси, и 2) пренебрегать ослаблением интенсивности этого света по мере его распространения в стержне. Тогда плотность энергии в точке, расположенной внутри стержня на расстоянии от его оси, равна [7]

здесь — значение, которое плотность энергии имела бы в той же самой точке стержня, если показатель преломления был бы равен единице. Эта плотность связана с интенсивностью излучаемого лампой света выражением (2.21). Если упрощающих допущений 1) и 2) не делать, то выражение для оказывается значительно более сложным [8]. На рис. 3.12 приведены полученные расчетом кривые безразмерной величины

для нескольких значений величины где а — коэффициент поглощения на длине волны накачки (предполагается, что накачка представляет собой монохроматический свет). На этом же рисунке приведена также штриховая кривая, построенная в соответствии с выражениями (3.13) и (3.14). Следует обратить внимание на различие между штриховой кривой и сплошной кривой, соответствующей Хотя обе кривые относятся к случаю, когда поглощение в стержне отсутствует, сплошная кривая в отличие от штриховой учитывает то, что свет может входить в стержень под любым углом. Заметим также, что если , то благодаря ослаблению интенсивности

света накачки по мере его распространения внутрь от поверхности стержня распределение плотности энергии сглаживается. Из рис. 3.12 следует, что в центре стержня величина может быть с хорошей точностью аппроксимирована выражением

Тот факт, что для очень малых значений плотность энергии в центральной части стержня равна заслуживает несколько более подробного рассмотрения. Предположим, что лампа имеет такой же радиус, что и стержень, и расположена вдоль фокальной оси (см. рис. Поскольку на рис. 3.11 лучи 2 и 3 касательны к поверхности они должны соответствовать двум лучам, касательным к поверхности лампы. После преломления лучи 2 и 3 становится лучами 2 и 3, которые касаются окружности радиусом Следовательно, можно сказать, что стержень действует как цилиндрическая линза, формируя изображение лампы в своем центре, которое в раз меньше истинного размера лампы. Поскольку объем, занимаемый этим изображением, в раз меньше объема лампы, можно понять, почему соответствующее значение плотности энергии увеличивается в раз.

Мы уже показали, что при очень небольших значениях плотность энергии накачки однородна лишь в центральной части стержня и то время как вне этой области она неоднородна. Очевидно, что неоднородное распределение плотности энергии в активной среде является нежелательным. Получить однородное распределение можно [7], если активный стержень поместить в цилиндрическую оболочку из прозрачного материала с тем же показателем преломления, что и у стержня (рис. 3.13). В этом случае, если радиусы лампы и оболочки сделать одинаковыми и равными то можно повторить рассуждения с помощью рис. 3.11, начиная с анализа хода лучей через точку Р, расположенную на поверхности оболочки. В этом случае преломленные лучи 2 и 3 будут касаться поверхности активной среды и внутри нее будет собираться весь падающий свет. Если и свет проникает в среду только в плоскости рис. 3.13, то плотность энергии в активной среде становится однородной и определяется выражением (3.13). Другой способ, который позволяет получить более однородную накачку, состоит в матировании боковой поверхности стержня. В этом случае свет накачки, попадая на поверхность стержня, будет рассеиваться, и, следовательно, он не будет концентрироваться, как на рис. 3.11. На рис. 3.14 построены кривые зависимости от безразмерной величины

полученные для рассматриваемого случая путем расчета при нескольких значениях Здесь, как и прежде, а — коэффициент поглощения на длине волны накачки (для монохроматического света накачки). Заметим, что при мы имеем Множитель возникает в этом случае вследствие того, что скорость света в стержне в раз меньше, чем скорость света в вакууме [см. (2.21)].

Рис. 3.13. Прозрачная цилиндрическая оболочка радиусом обеспечивающая однородное распределение плотности накачки в активном стержне (заштрихованная область).

Рис. 3.14. Стержень с шероховатой боковой поверхностью. Радиальная зависимость нормированной плотности энергии от нормированного радиуса для нескольких значений коэффициента поглощения накачки (Согласно работе [1].)

Таким образом, предполагается, что при данном излучении лампы плотность энергии раз превышает значение величины которое эта величина имела бы, если бы показатель преломления стержня равнялся единице. Из рис. 3.14 следует, что в центре стержня величину можно с хорошей точностью аппроксимировать выражением Сравнение выражений (3.16) и (3.15) при показывает, что, за исключением небольшого различия между функциями шероховатость боковой поверхности стержня действительно приводит к уменьшению плотности энергии накачки в его центре в раз. Однако теперь более или менее однородно освещается все сечение стержня, а не только его ядро радиусом . В самом деле, с помощью рис. 3.12 и 3.14 можно показать, что в обоих этих случаях интегральная плотность энергии накачки по сечению стержня приблизительно одинакова.

Рассмотрим теперь случай, когда радиус лампы меньше, чем радиус стержня. Пусть система накачки имеет ту же

конфигурацию, что и на рис. 3.1, б. Если боковая поверхность стержня полирована, то в стержне будет формироваться эллиптическое изображение лампы. Это можно понять с помощью рис. 3.15, на котором изображена лампа с боковой поверхностью расположенная вдоль фокальной оси эллиптического цилиндра. Форму изображения лампы, создаваемого эллиптическим отражателем на второй фокальной оси можно получить, рассматривая лучи, испукаемые касательно к поверхности лампы. Отражаясь от поверхности эллиптического цилиндра, эти лучи преобразуются в пучок лучей вокруг второй фокальной оси Огибающая этих лучей представляет собой поверхность и является изображением лампы, сформированным эллиптическим цилиндром.

На рис. 3.15 показаны те лучи, которые ограничивают поверхность в горизонтальном и вертикальном направлениях.

Очевидно, что изображение вытянуто вдоль малой оси эллиптического отражателя. В действительности можно показать, что само изображение является эллипсом. На рис. 3.15 с помощью простых геометрических соображений можно найти большую и малую оси этого эллипса. Если предположить, что радиус лампы много меньше, чем малая ось эллиптического отражателя, то для можно получить следующие выражения:

где — эксцентриситет эллиптического отражателя. В действительности из-за преломления на поверхности стержня, которая вновь действует как цилиндрическая линза, большая и малая оси этого изображения уменьшаются в раз по сравнению с приведенными выше значениями. Чтобы избежать неоднородного распределения накачки, которое возникает в процессе формирования изображения, боковую поверхность можно сделать грубо шероховатой.

Рис. 3.15. Изображение лампы сформированное в фокусе эллиптического цилиндра.

Представленное выше рассмотрение относится только к случаю, когда стержень окружен воздухом Однако во

многих случаях стержень необходимо охлаждать, для чего его помещают в какую-либо жидкость, которой является обычно вода. В этом случае в проведенное выше рассмотрение необходимо внести некоторые изменения. В частности, у стержня с полированной боковой поверхностью радиус ядра, в котором концентрируется максимум энергии накачки, равен не как на рис. 3.11, a , где П — показатель преломления окружающей жидкости. Для стержня же с шероховатой боковой поверхностью присутствие жидкости стремится свести на нет эффект матирования боковой поверхности. Поэтому распределение энергии накачки оказывается значительно менее однородным, чем то, которое показано на рис. 3.14. Это особенно верно для эллиптического цилиндра благодаря тому, что неоднородность распределения здесь обусловлена особенностями формирования изображения (см. рис. 3.15). В заключение можно сказать, что плотноупакованная конфигурация системы накачки, изображенная на рис. 3.1, б, в случае, когда поверхность стержня грубо отшлифована, а осветитель дает либо зеркальное, либо диффузное отражение, обеспечивает наиболее однородное распределение энергии накачки внутри стержня. Однако по сравнению с эллиптическим цилиндром эффективность передачи здесь несколько ниже, в то время как в конфигурации со спиральной лампой, когда имеет место однородное распределение энергии накачки по всему стержню, она существенно выше. В качестве последнего замечания в данном разделе укажем на то, что приведенное выше рассмотрение справедливо для монохроматического излучения накачки. Для полихроматического же излучения выражения (3.14)-(3.16), а также кривые на рис. 3.12 и 3.14 остаются справедливыми, однако заменяются на соответствующие спектральные величины