2.3.2. Разрешенные и запрещенные переходы

Из выражения (2.39) следует, что если Это имеет место, например, когда обе собственные функции являются одновременно либо симметричными, либо антисимметричными. Действительно, в этом случае вклады от подынтегрального выражения в (2.28) в точках соответственно равны по величине, но имеют противоположные знаки. Следовательно, нам интересно знать, при каких условиях волновые функции будут либо симметричными, либо антисимметричными. Это имеет место в случае, когда гамильтониан системы не меняется при замене на т. е. когда

Действительно, в этом случае для любой собственной функции справедливо равенство

и замена на с учетом (2.41) дает

Равенства (2.42) и (2.43) показывают, что как так и являются собственными функциями оператора с одним и тем же собственным значением Хорошо известно [3], что для невырожденных уровней энергии (не считая произвольного выбора знака) каждому собственному значению соответствует только одна собственная функция, т. е.

Следовательно, если гамильтониан является симметричным, то его собственные функции должны быть либо симметричными, либо антисимметричными. В этом случае обычно говорят, что собственные функции имеют определенную четность.

Остается теперь выяснить, в каких случаях гамильтониан удовлетворяет условию (2.41), т. е. инвариантен относительно операции инверсии. Очевидно, это имеет место для системы с центром инверсии. Другим важным случаем является изолированный атом. В этом случае потенциальная энергия электрона равна сумме потенциальной энергии взаимодействия с ядром (которая описывается симметричной функцией) и энергии взаимодействия со всеми остальными электронами. Для электрона эта энергия зависит от т. е. от расстояния между двумя электронами. Следовательно, соответствующие члены будут также инвариантными относительно инверсии. Важным случаем, когда (2.41) не выполняется, является случай, когда атом находится во внешнем электрическом поле (например, в электрическом поле кристалла), не обладающем центром инверсии. В этом случае волновые функции не имеют определенной четности.

Подводя итог, можно сказать, что электродипольные переходы происходят только между состояниями с противоположной четностью и что состояния имеют определенную четность в том случае, когда гамильтониан системы инвариантен относительно инверсии.

Если то соответствующий переход называется запрещенным в электродипольном приближении. Однако это не означает, что атом не может совершить переход с уровня 1 на уровень 2 под действием падающей электромагнитной волны. В этом случае переход может произойти, например, в результате взаимодействия между магнитным полем волны и магнитным дипольным моментом атома. Ради простоты мы не будем в дальнейшем подробно рассматривать этот случай (магнито-дипольное взаимодействие), а ограничимся лишь тем наблюдением, что анализ в этом случае аналогичен проделанному при выводе выражения (2.37). Отметим также, что магнитодипольные переходы разрешены между состояниями с одинаковой четностью (между двумя четными или двумя нечетными состояниями). Следовательно, переход, который запрещен в приближении электродипольного взаимодействия, разрешен в приближении магнитодипольного, и наоборот. Полезно также вычислить порядок величины отношения вероятности электродипольного перехода к вероятности магнитодипольного перехода Ясно, что расчет относится к двум различным переходам, один из которых разрешен при электродипольном, а другой — при магнитодипольном взаимодействии. Предположим также, что интенсивность электромагнитной волны одна и та же в обоих случаях. Для разрешенного дипольного перехода в соответствии с (2.34) можно написать, что

где амплитуда электрического поля и электрический дипольный момент атома приближенно выражается (для разрешенного перехода) произведением заряда электрона на радиус атома а. Аналогичным образом можно показать, что где — амплитуда магнитного поля волны и где магнитный дипольный момент атома приближенно выражается (для разрешенного перехода) через магнетон Бора Таким образом,

Для получения этого численного результата мы использовали тот факт, что для плоской волны (где с — скорость света), и предположили, что а Мы видим, что вероятность электродипольного перехода много больше вероятности магнитодипольного. Это, по существу, обусловлено тем, что энергия электродипольного взаимодействия намного превосходит энергию магнитодипольного взаимодействия