8.5. Временное преобразование; сжатие импульса

В этом разделе мы рассмотрим кратко явление сжатия импульса. Это явление — один из примеров многих типов временного преобразования, которому может быть подвергнут лазерный пучок до его применения на практике. Однако, прежде чем приступить к такому преобразованию, имеет смысл сделать короткое отступление, чтобы напомнить такие понятия, как фазовая скорость, групповая скорость и дисперсия групповой скорости светового импульса.

Рассмотрим среду, характеризующуюся конкретным дисперсионным уравнением, т. е. данным соотношением между волновым числом и частотой со (рис. 8.11). Это означает, что электрическое поле плоской линейно-поляризованной и монохроматической электромагнитной волны с частотой со будет распространяться вдоль оси в соответствии с выражением где определяется дисперсионным уравнением среды. Поскольку фаза волны равна

скорость данного фазового фронта будет такова, что элементарные изменения временной и пространственной координат должны удовлетворять условию Отсюда следует, что фазовый фронт движется со скоростью

которая называется фазовой скоростью волны. Рассмотрим теперь световой импульс, распространяющийся в среде, и пусть — центральная частота и ширина соответствующего спектра (рис. 8.11, а). Предположим, что дисперсионное уравнение в пределах ширины линии Дсоо может быть линеаризовано. Другими словами, запишем его следующим образом: , где — волновое число, соответствующее частоте . В этом случае, выполняя преобразование Фурье электрического поля волны:

Рис. 8.11. а — фазовая скорость и групповая скорость в среде; б — дисперсия времени задержки двух импульсов с несущими частотами в — дисперсия групповой скорости для импульса с широким спектром.

и подставляя приведенное выше линейное соотношение для в зависимости от получаем

где Заметим, что после интегрирования получается функция переменной Таким образом, выражение (8.101) можно представить в виде

где А — амплитуда волны или волнового пакета, — несущая волна, а дается выражением

Тот факт, что амплитуда волны является функцией переменной означает, что волновой пакет распространяется со скоростью без изменения формы. Эта скорость называется групповой скоростью импульса, а ее величина в соответствии с (8.103) определяется наклоном кривой зависимости в точке Обратившись к выражению (8.102), заметим, что несущая волна импульса распространяется со скоростью т. е. с фазовой скоростью непрерывной волны на частоте Заметим также, что в общем случае дисперсионного уравнения, представленного на рис. 8.11, а, фазовая скорость несущей волны отличается, вообще говоря, от групповой скорости. Посмотрим теперь, что происходит, когда в среде распространяются два импульса, имеющих ширины спектральных линий соответственно с центрами при (рис. 8.11,б). Если наклоны дисперсионной кривой на этих двух частотах имеют разные значения, то оба волновых пакета распространяются с различными групповыми скоростями Таким образом, если максимумы обоих импульсов входят в среду одновременно, то после прохождения ими в среде расстояния они становятся разделенными во времени на величину задержки

Если допустить, что дисперсионное уравнение в диапазоне частот можно аппроксимировать параболой, то справедливым будет выражение и, таким образом, величину можно записать в виде

Рассмотрим теперь случай, когда световой импульс имеет столь большую ширину линии Асоо, что линейный закон не будет более хорошо аппроксимировать дисперсионное уравнение (рис. 8.11, в). В этом случае различные спектральные области импульса распространяются с различными групповыми скоростями и, следовательно, форма импульса меняется во время распространения. Выбрав две соседние элементарные спектральные области импульса вблизи частоты разделенные элементарным частотным интервалом определим изменение временной задержки

Рис. 8.12. Экспериментальная установка для сжатия импульсов.

В соответствии с (8.105) эта величина дается выражением

Представив величину в форме (8.106), обычно определяют дисперсию групповой скорости (ДГС) в виде

Заметим, что поскольку можно также написать

Из соотношений (8.106) — (8.108) следует, что дисперсию временной задержки можно представить в виде

Сделав эти предварительные замечания, можно продолжить рассмотрение метода сжатия сверхкоротких лазерных импульсов. Соответствующее устройство схематически представлено на рис. 8.12. Импульс лазера, работающего в режиме синхронизации мод, с относительно небольшой максимальной мощностью (например, ) и большой длительностью импульса (например, ) пропускается через одномодовое кварцевое

оптическое волокно подходящей длины (например, L = 3 м). Длина волны импульса (например, нм) попадает в область положительной дисперсии групповой скорости волокна (обычно мкм). Заметим, что, согласно (8.108), положительная дисперсия групповой скорости означает, что групповая скорость уменьшается с увеличением несущей частоты. После выхода из волокна импульс коллимируется и проходит через систему двух одинаковых дифракционных решеток, расположенных параллельно друг другу. Наклон этих решеток и расстояние между ними необходимо подобрать вполне определенным образом, описанным ниже. При выполнении этих определенных условий выходной пучок состоит из светового импульса, длительность которого значительно меньше, чем у входного импульса (например, фс), и, следовательно, пиковая мощность намного больше (например, кВт). Таким образом, устройство, изображенное на рис. 8.12, позволяет получить очень большой коэффициент сжатия (например, в нашем случае около 30). Перейдем теперь к рассмотрению достаточно непростых явлений, происходящих во время сжатия импульса (17].

Рассмотрим сначала процессы, которые имеют место при распространении импульса в оптическом волокне. Прежде всего заметим, что при данном диаметре небольшого ядра одномодового волокна мкм) импульс создает внутри ядра очень высокую интенсивность излучения. В этих условиях поле световой волны вызывает значительные изменения показателя преломления материала волокна. В действительности это изменение пропорционально квадрату амплитуды поля импульса, так что мы можем записать где для кварца Это явление обычно называют оптическим эффектом Керра. Поскольку интенсивность пропорциональна величину можно записать в более общепринятом виде:

где для плавленого кварца . Заметим, что, поскольку здесь речь идет о световом импульсе, мы явно указали в (8.110) на то, что интенсивность является функцией времени. Это означает, что показатель преломления среды — показатель преломления в отсутствие поля) является также функцией времени. Если потери в волокне малы, то импульс может сохранить высокую интенсивность на протяжении всего волокна, а это вызовет очень большую фазовую модуляцию несущей. Предположим, что в действительности импульс на входе в волокно имеет колоколообразную форму, как показано сплошной линией на рис. 8.13, а, и пусть этот импульс

распространяется по бездисперсионному волокну на расстояние . В отсутствие дисперсии групповой скорости форма импульса не будет изменяться, и импульс, пройдя расстояние по волокну, испытает сдвиг фазы определяемый выражением

где — частота несущей входного импульса, а — скорость света в вакууме. Тогда мгновенное значение частоты светового импульса в точке с координатой можно записать в виде

Таким образом, мгновенное значение частоты несущей линейно зависит от производной мгновенной интенсивности света по времени, взятой с обратным знаком.

Следовательно, у импульса, показанного на рис. 8.13, а, несущая частота будет изменяться со временем так, как показано сплошной линией на рис. 8.13, б.

Рис. 8.13. Завнснмостн от времени интенсивности импульса (а) и частоты (б) при распространении в одномодовом волокне соответствующей длины. Сплошная кривая соответствует случаю отсутствия дисперсии групповой скорости, а штриховая — наличию положительной дисперсии групповой скорости в волокне.

Заметим, что вблизи пика импульса, т. е. в той области, где временную зависимость можно описать параболой, мгновенное значение частоты несущей линейно растет со временем (т. е. говорят, что импульс обладает положительным смещением; см. разд. 5.4.5). Заметим также, что смещение частоты отрицательно на крыльях импульса, т. е. при или на рис. 8.13, б, Явление, которое мы только что описали, носит название фазовой самомодуляции светового импульса.

Рассмотренная до сих пор физическая ситуация не дает полного представления о том, что происходит на самом деле

в волокне, поскольку мы пренебрегли положительной дисперсией групповой скорости. Этот эффект эвристически можно описать следующим образом. Рассмотрим сначала форму невозмущенного светового импульса в данный момент времени как функцию координаты Поскольку интенсивность импульса зависит от где групповая скорость, зависимость интенсивности импульса от переменной та же, что и на рис. 8.13 при условии, что мы изменим положительное направление оси на противоположное и умножим масштаб времени на Это означает, что точка, скажем А на рис. 8.13, а, в действительности находится на переднем фронте, в то время как точка, скажем В, — на заднем фронте. Заметим теперь, что в соответствии с рис. 8.13, б несущая частота импульса со вблизи точки А будет ниже, чем в точке С, где частота примерно равна . В то же время несущая частота импульса вблизи точки В будет выше, чем в С. Поскольку мы считаем, что волокно обладает положительной дисперсией групповой скорости, часть импульса вблизи точки А будет двигаться быстрее, чем часть импульса вблизи точки С, а последняя в свою очередь будет двигаться быстрее области вблизи точки В. Отсюда следует, что при распространении по волокну центральная часть импульса будет растягиваться. При помощи тех же соображений можно показать, что фронты импульса будут не растягиваться, а обостряться, так как в этих областях смещение частоты отрицательно. Поэтому истинная форма импульса как функция времени в данной точке будет такой, как показано на рис. 8.13, а штриховой кривой. Соответствующая зависимость смещения частоты показана штриховой кривой на рис. Из рис. 8.13, а мы видим, что из-за уширения, обусловленного дисперсией групповой скорости, пиковая интенсивность импульса, указанного штриховой кривой, меньше, чем для сплошной кривой. Заметим также, что поскольку параболическая часть импульса распространяется теперь на более широкую область вблизи пика, положительное линейное смещение частоты распространяется на большую часть импульса. Установив эти общие особенности взаимодействия процессов фазовой самомодуляции и дисперсии групповой скорости, мы можем показать, что если длина волокна достаточно большая, то на выходе волокна, показанного на рис. 8.12, форма импульса и смещение частоты будут изменяться во времени так, как изображено на рис. 8.14. a и b. Заметим, в частности, что положительное смещение частоты теперь линейно во времени на протяжении большей части импульса. Соответствующий спектр мощности этого импульса приведен на рис. 8.14, в. Заметим, что благодаря фазовой самомодуляции ширина спектра заметно превышает первоначальную ширину

спектра импульса на входе в волокно (которая определялась обратной длительностью импульса, т. е. для рассмотренного случая Отсюда следует, что ширина полосы на выходе в основном определяется фазовой модуляцией, а не длительностью его огибающей.

Предположим теперь, что импульс на рис. 8.14, а (и 8.14,б) пропускается через среду с отрицательной дисперсией групповой скорости.

Рис. 8,14. Расчетные значения самоуншренпя (а) и фазовой самомодуляшш (б) исходного импульса длительностью пс после распространения в одномодовом волокне с положительном дисперсией групповой скорости на расстояние спектр выходного импульса (в); сжатый импульс после прохождения оптической системы с отрицательной линейном дисперсией групповой скорости (Согласно Гришовски и Балапту [17].)

Используя те же рассуждения, что и в связи с рис. 8.13, можно показать, что область импульса вблизи точки А будет двигаться медленнее, чем вблизи точки С, а эта в свою очередь будет двигаться медленнее области вблизи точки В. Отсюда следует, что импульс будет сжиматься. Предположим теперь, что дисперсия групповой скорости среды помимо того, что она отрицательна, не зависит также от частоты. Следовательно, дисперсия временной задержки будет также отрицательной и не будет зависеть от частоты, т. е. та линейно уменьшается с частотой. Поскольку смещение частоты импульса увеличивается линейно со временем (см. рис. 8.14, б), все точки импульса на рис. 8.14, а в случае, когда среда имеет соответствующую длину, сожмутся вместе в одно и то же время. Эту длину можно определить с помощью соотношения [см. (8.103)]

где полное смещение частоты импульса в примере, приведенном на рис. 8.14, б), длительность импульса в примере на рис. 8.14, а). Заметим, что сжатие вместе всех точек импульса означает переход частотной модуляции импульса (показана на рис. 8.14) в амплитудную модуляцию. Поскольку в процессе этой операции спектр импульса сохраняется (т. е. он по-прежнему такой же, как на рис. 8.14, в), длительность сжатого импульса должна быть приблизительно равна обратной ширине полосы спектра, т. е. Так как первоначальная длительность импульса была равна (рис. 8.12, а), данный результат означает, что было достигнуто существенное сжатие импульса.

Следует заметить, что приведенное выше эвристическое рассмотрение основывалось на допущении, что импульс с частотным смещением может быть разделен на отдельные временные отрезки с различными частотами несущей. Хотя данная идея в принципе верна и позволяет дать простое описание явлений, более подробное рассмотрение этого подхода привело бы к некоторым концептуальным трудностям. Однако корректное аналитическое рассмотрение в данном случае оказывается достаточно прямолинейным, хотя при этом физика процесса становится более сложной и далекой от интуитивного представления. Для получения сжатого импульса достаточно вычислить фурье-образы импульсов, изображенных на рис. 8.14, а и б, и умножить их в частотной области на пропускание среды с отрицательной дисперсией групповой скорости. При этом результирующий импульс получают вычислением обратного фурье-преобразования произведения Заметим, что в среде без потерь пропускание представляет собой чисто фазовый член, определяемый выражением

где — длина среды, а величина определяется дисперсионным уравнением среды. Если среда имеет постоянную дисперсию групповой скорости, то можно разложить в ряд Тейлора относительно центральной частоты несущей с точностью до квадратичного члена:

где в соответствии с (8.103) и (8.107) мы имеем Подставляя данное разложение в выражение (8.107) и производя обратное фурье-преобразование произведения находим, что если вторая производная отрицательна и удовлетворяет условию с (8.113)], то мы имеем оптимальное сжатие импульса. Оптимально сжатый импульс, вычисленный таким образом, показан на рис. 8.14, в. Длительность этого импульса имеет порядок что указывает на сжатие исходного импульса длительностью примерно в 10 раз.

Рис. 8.15. Пара дифракционных решеток для сжатия импульса.

Все, что нам осталось, — это найти подходящую оптическую систему, которая может обеспечить необходимую отрицательную дисперсию групповой скорости, т. е. отрицательную дисперсию групповой задержки Одна из таких систем представляет собой пару параллельных одинаковых дифракционных решеток, изображенных на рис. 8.12 [18]. Чтобы это понять, обратимся к рис. 8.15. На нем показана плоская волна, описываемая лучом падающим на решетку 1. Волна распространяется под углом в к нормали решетки. Предположим, что падающая волна состоит из двух синхронных импульсов с частотами причем Вследствие дисперсии решетки импульсы проделают пути соответственно ABCD и ABCD. При этом мы видим, что задержка, которую испытывает импульс на частоте а

именно меньше задержки на частоте Поскольку означает, что дисперсия групповой задержки отрицательна. С помощью подробных расчетов можно показать, что дисперсионное уравнение запишется в виде [18]

— частота волны, X — ее длина, — период решетки, а — расстояние между решетками. Обратите внимание на знак «минус» в правой части выражения (8.116), показывающий, что дисперсия временной задержки действительно отрицательна. Заметим также, что величину дисперсии можно менять, изменяя угол падения 0.

Система, показанная на рис. 8.12, применялась для осуществления сжатия импульсов при самых различных условиях. Например, импульсы длительностью около на длине волны X да 620 нм от лазера на красителе с синхронизацией мод на сталкивающихся импульсах (усиленные лазерным усилителем на красителе, накачиваемого лазером на парах меди) были сжаты с применением волокна длиной около 10 мм до длительности около Эти импульсы состоят примерно из трех оптических периодов и в настоящее время являются наиболее короткими. Импульсы длительностью около (и пиковой мощностью около от лазера на красителе с синхронной накачкой и с синхронизацией мод были сжаты с помощью системы, показанной на рис. 8.12, с использованием трехметрового волокна до длительности около Эти импульсы были снова сжаты второй такой же системой, показанной на рис. 8.12, с волокном длиной 55 см до длительности

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Литература

(см. скан)