8.4.2.2. Генерация второй гармоники

В случае ГВГ мы имеем:

Подстановка (8.85) и (8.86) в (8.41) дает

Затем, подставляя выражение (8.87) в (8.67) и пренебрегая потерями в кристалле (т. е. полагая получаем

здесь . Уравнения (8.88) являются основными для описания генерации второй гармоники. Чтобы их решить, удобно определить новые полевые переменные Е и следующим образом:

Отсюда мы видим, что, поскольку интенсивность волны с частотой со пропорциональна произведению интенсивность также пропорциональна величине но теперь коэффициент пропорциональности не зависит от показателя преломления. Подстановка выражений (8.89) в (8.88) приводит к следующим уравнениям:

где — значение в точке , а - характерная длина взаимодействия второй гармоники, определяемая выражением

где — длина волны, -амплитуда поля основной волны на частоте со. Заметим снова, что преимущество использования новых полевых переменных с очевидностью следует из выражений (8.90), так как они содержат один единственный параметр связи Кроме того, подчеркнем, что величины а следовательно, и являются

вещественными. Из (8.90) получаем соотношение Мэнли

Отсюда следует, что в рассматриваемом случае возможно 100%-ное преобразование мощности основной волны в мощность излучения на второй гармонике.

В качестве первого примера рассмотрим решение системы уравнений (8.90) в случае, когда фазовое рассогласование столь велико (т. е. что во вторую гармонику преобразуется лишь очень небольшая доля мощности основной волны. Поэтому в правой части уравнения (8.90а) следует положить Получающееся при этом уравнение нетрудно проинтегрировать [с граничным условием ]. Таким образом, решение уравнения (8.90а) запишется в виде

откуда получаем

Рис. 8.10. Нормированные кривые зависимости интенсивности второй гармоники и интенсивности излучения на основной частоте от длины кристалла I при идеальном фазовом синхронизме (сплошные кривые) и некотором фазовом рассогласовании (штриховые кривые).

Поскольку величина пропорциональна интенсивности второй гармоники, из последнего выражения нетрудно получить зависимость этой интенсивности от длины кристалла . В соответствии с (8.92) интенсивность 1а должна быть такой, чтобы выполнялось равенство На рис. 8.10 в виде штриховых кривых приведены зависимости относительных величин от при Заметим, что вследствие большого фазового рассогласования во вторую гармонику из основных сигналов передается лишь очень небольшая доля мощности. С помощью (8.94) нетрудно показать, что первый максимум величины достигается при где (длина когерентности) определяется выражением (8.49).

В качестве второго примера рассмотрим решение уравнений (8.90) в случае, когда имеет место идеальный фазовый синхронизм . В этом случае может происходить довольно

заметное преобразование во вторую гармонику и, следовательно, необходимо учитывать истощение пучка на основной частоте. Таким образом, при решении уравнений (8.90) мы не можем теперь полагать Однако если то из уравнений (8.90) можно показать, что величина является мнимой, вещественной. Иными словами, мы имеем

При этом уравнения (8.90) принимают вид

Решения уравнений (8.96) с граничными условиями записываются в виде

Поскольку интенсивность волны пропорциональна можно написать следующие соотношения: Вычисленные с помощью выражений (8.97) зависимости величин от длины кристалла представлены на рис. 8.10 в виде сплошных кривых. Заметим, что когда во вторую гармонику преобразуется значительная доля падающей волны. Это наглядно показывает роль как характерной длины взаимодействия второй гармоники. Ее величина обратно пропорциональна квадратному корню из интенсивности пучка на основной частоте [см. (8.91)]. Следует также заметить, что, когда излучение накачки в соответствии с соотношением Мэнли — Роу (8.92) может быть полностью преобразовано в излучение второй гармоники.