2.3. Поглощение и вынужденное излучение

В этом разделе мы изучим некоторые особенности процессов поглощения и вынужденного излучения, происходящих в двухуровневой атомной системе под действием монохроматической электромагнитной волны. В частности, в нашу задачу будут входить: 1) вычисление вероятностей поглощения и вынужденного излучения когда определяются выражениями (1.5) и (1.3) соответственно; 2) введение и расчет сечений поглощения и излучения [см. формулы (1.4) и (1.6)]; 3) определение двух новых параметров — коэффициента поглощения и коэффициента усиления, которые во многих случаях могут быть непосредственно измерены с помощью простых экспериментов.

2.3.1. Вероятности поглощения и вынужденного излучения

Ради простоты мы не будем здесь подробно рассматривать квантовомеханический расчет вероятности перехода, который дается в Приложении А. Поэтому здесь мы ограничимся лишь описанием главных моментов математических вычислений и обсуждением основных физических явлений, которые имеют место. Затем мы сформулируем конечный результат и обсудим его физический смысл.

При вычислениях мы будем использовать так называемый полуклассический подход, при котором атомная система предполагается квантованной (и поэтому описывается с помощью квантовой механики), а электромагнитное поле падающей волны описывается классически (т. е. с помощью уравнений Максвелла). Таким образом, мы считаем, что атомная система имеет два энергетических уровня и что соответствующие волновые функции записываются в виде

При этом частота перехода между уровнями дается выражением

где Полагая падающую электромагнитную волну монохроматической, электрическое поле Е в точке, где находится атом, можно записать в виде

Кроме того, предположим, что частота электромагнитной волны (о близка к резонансной частоте перехода

В результате взаимодействия с электромагнитной волной атом приобретает дополнительную энергию Н. В последующем изложении мы будем считать, что энергия Н обусловлена взаимодействием электрического дипольного момента атома с электрическим полем Е электромагнитной волны (электродипольное взаимодействие). Рассмотрим теперь электрон в атоме, ответственный за данный переход пусть есть радиус-вектор этого электрона относительно атомного ядра. В классическом случае электрический дипольный момент, соответствующий данному радиус-вектору равен просто где — заряд электрона (с соответствующим знаком). При этом энергия взаимодействия с внешним электрическим полем запишется в виде

В квантовомеханическом подходе эта синусоидальная во времени энергия взаимодействия рассматривается как синусоидальный во времени гамильтониан взаимодействия , который затем вводится в нестационарное уравнение Шрёдингера. Поскольку этот гамильтониан взаимодействия приводит к переходу между двумя уровнями атома. Прежде чем получить окончательный результат, сделаем еще три предположения: 1) длина волны падающего излучения много больше размеров атома (электродипольное приближение); 2) волна взаимодействует с атомом в течение очень длительного времени; 3) вероятность перехода мала, так что можно пользоваться методами теории возмущений (нестационарной теорией возмущений). С учетом всех этих предположений окончательное выражение для вероятности поглощения запишется в виде

где — дельта-функция Дирака, а — абсолютная величина комплексного вектора

где — стационарные собственные функции обоих состояний [см. (2.23)], а интегрирование производится по всему объему атома. Вектор называют матричным элементом оператора электрического дипольного момента или, проще, электрическим дипольным моментом атома.

Чтобы лучше представить себе физическую картину происходящего, рассмотрим атом, который в момент времени

находится в основном состоянии. При этом его волновая функция равна и описывается выражением (2.23а). При когда атом совершает переход его волновая функция может быть представлена в виде соответствующей комбинации волновых функций двух состояний, т. е.

где «1 и комплексные числа, зависящие от времени. Следует заметить, что, согласно квантовой механике, величины представляют собой вероятности того, что в момент времени атом будет обнаружен в состояниях 1 и 2 соответственно. Эти величины удовлетворяют соотношению

Поскольку электрический дипольный момент атома дается выражением

подстановка (2.29) в (2.31) с учетом (2.23) дает

здесь знак обозначает комплексное сопряжение и Из выражения (2.32) следует, что в М входит осциллирующий с частотой член который можно записать в виде

где мы использовали соотношение (2.28) и где обозначает действительную часть. Мы видим, что во время перехода атом можно рассматривать как электрический диполь, осциллирующий с частотой амплитуда которого пропорциональна вектору определяемому выражением (2.28). Теперь становится ясным, почему называется электрическим дипольным моментом атома, поскольку переход обусловлен взаимодействием именно этого дипольного момента с электрическим полем Действительно, момент порождается электрическим полем и задача на данном этапе очень похожа на задачу о классическом дипольном моменте, осциллирующем под воздействием внешнего поля. Поэтому не удивительно, что вероятность оказывается пропорциональной квадрату абсолютного значения электрического дипольного момента, умноженному на квадрат

амплитуды электрического поля. Однако наличие в выражении (2.27) дельта-функции Дирака приводит к физически бессмысленному результату, что при когда т. е. когда частота электромагнитной волны в точности совпадает с частотой атомного перехода. Этот нефизический результат можно объяснить, если вернуться обратно к допущению о том, что взаимодействие электромагнитной волны с атомом может оставаться в течение длительного времени невозмущенным. Действительно, с классической точки зрения, если электрическое поле с частотой возбуждает (без потерь) осциллирующий с частотой дипольный момент, то взаимодействие может иметь место только при На самом деле существует целый ряд физических явлений (таких, как столкновения между атомами), которые препятствуют этому взаимодействию оставаться невозмущенным неограниченное время. Это эквивалентно утверждению, что осциллирующий электрический дипольный момент должен иметь потери. Хотя этим явлениям мы уделим некоторое внимание в следующем разделе, общий результат, к которому они приводят, можно сформулировать очень просто: уравнение (2.27) справедливо при условии, что дельта-функция Дирака [центрированная в точке бесконечно острая функция с единичной площадью, т. е. такая, что заменена на другую функцию которая тоже центрирована в точке и имеет единичную площадь [т. е. ], но теперь уже с конечной спектральной шириной. Форма функции и ее ширина будут определяться конкретным механизмом уширения, который имеет место. Таким образом, для можно написать выражение

Его можно переписать в более удобном виде через плотность энергии падающей электромагнитной волны, которая дается выражением

где — показатель преломления среды, в которой находится атом, и — диэлектрическая постоянная. Таким образом, используя выражения (2.34) и (2.35), находим

здесь мы положили . В случае плоской электромагнитной волны иногда бывает полезно выразить через интенсивность падающего излучения. Поскольку где Со — скорость света в вакууме, из выражения (2.36) имеем

Выражения (2.36) и (2.37) для вероятности поглощения весьма часто применяются на практике. Следует заметить также, что выражение (2.27), очевидно, можно записать через плотность энергии волны в виде, который пригодится нам в дальнейшем:

Наконец, необходимо заметить, что в случае вынужденного излучения вероятность перехода получается из (2.36) и (2.37) путем замены на т. е. путем перестановки индексов 1 и 2 в (2.28). Однако поскольку из (2.28) видно, что мы имеем , следовательно,

Отсюда мы видим, что вероятности поглощения и вынужденного излучения равны друг другу. Поэтому в дальнейшем, если нет необходимости в установлении различия между этими процессами, будем полагать Выражения (2.36) и (2.37) принимают соответственно вид

Эти выражения и представляют собой окончательный результат наших вычислений в данном разделе.