7.3. Комплексное представление полихроматических полей

Прежде чем перейти к рассмотрению свойств лазерных пучков, полезно сначала дать краткое описание очень удобного комплексного представления полихроматических полей (развитое Габором [2]). Для простоты рассмотрим линейно-поляризованную электромагнитную волну. Такую волну можно описать одной вещественной скалярной величиной (например, величинами или модулем векторного потенциала Эту величину, которая представляет собой функцию пространственной координаты и времени можно записать в виде интеграла Фурье следующим образом:

Данному выражению соответствует хорошо известное обратное преобразование:

Поскольку вещественная величина, из (7.2) имеем

Следовательно, спектр отрицательных частот не содержит дополнительной информации о поле, которая уже имеется в спектре положительных частот. Таким образом, вместо величины можно рассматривать комплексную величину определяемую выражением

Функция называется комплексным аналитическим сигналом для волны Очевидно, что эти две функции связаны

между собой однозначным образом. Действительно, для данного значения V из (7.1), (7.2а) и (7.3) находим, что

И наоборот, нетрудно показать, что если задана величина то V определена однозначно. Действительно, задавая из (7.2) можно получить функцию . При этом с помощью выражения (7.3) находим

Оказалось, что аналитический сигнал V более удобен для описания электромагнитного поля, чем реальный сигнал. Например, если реальный сигнал монохроматичен, то его можно записать в виде Следовательно, из выражений (7.2) и (7.3) имеем . В этом случае аналитический сигнал описывается хорошо известным экспоненциальным представлением для синусоидальных функций, преимущества которого хорошо известны. Нередко в практических случаях спектр аналитического сигнала имеет существенное значение лишь в некотором интервале частот который очень мал по сравнению со средней частотой спектра (квазимонохроматическая волна). Нетрудно показать, что при этом сигнал можно записать в виде

где — медленноменяющиеся функции, т. е.

Другие величины, характеризующие электромагнитное поле квазимонохроматической волны, можно представить как функции аналитического сигнала. Например, интенсивность пучка можно определить с помощью следующего соотношения:

Действительно, нетрудно показать, что величина равна среднему значению усредненному по нескольким периодам оптического сигнала.