7.5.3. Соотношение между временной когерентностью и монохроматичностью

Из рассмотрения, проведенного в предыдущих разделах, следует с очевидностью, что понятие временной когерентности тесно связано с монохроматичностью. Например, чем более монохроматической является волна, тем больше ее временная когерентность. Таким образом, время когерентности должно быть обратно пропорционально ширине полосы генерируемого излучения. В данном разделе мы обсудим это соотношение более подробно.

Вначале заметим, что спектр электромагнитной волны, измеренный с помощью спектрометра, пропорционален спектральной функции (спектру мощности) сигнала Поскольку спектральная функция равна фурье-образу автокорреляционной функции любая из этих величин может быть найдена, если известна другая. Для того чтобы получить точное соотношение, связывающее величины необходимо переопределить обе эти величины соответствующим образом. Таким образом, мы определяем как среднеквадратичную ширину функции так что . В сокращенной записи это выражение можно записать следующим образом:

где среднее значение определяется соотношением Поскольку из последнего соотношения имеем и выражение (7.33) принимает вид

Такое определение времени когерентности умозрительно является более простым (хотя иногда и более трудным для вычислений), чем то, которое мы дали выше [т. е. как полуширину на полувысоте кривой см. рис. 7.2]. Если бы кривая на рис. 7.2 имела осциллирующий характер, то Ткогер, соответствующее первоначальному его определению, нельзя было бы вычислить однозначно. Аналогично определим ширину полосы генерации как среднеквадратичную ширину функции Таким образом,

здесь средняя частота спектра, определяемая выражением Поскольку функции и Г связаны преобразованием Фурье, можно показать, что Луген и в соответствии с определением, которое мы только что дали, удовлетворяют условию

Это условие аналогично соотношению неопределенностей Гейзенберга, и его можно доказать, используя тот же метод, что и при выводе соотношения неопределенностей [5]. Знак равенства в (7.36) имеет место в том случае, когда функции , следовательно, являются гауссовыми. Таким образом, рассматриваемый случай, очевидно, представляет собой аналог волнового пакета с минимальной неопределенностью [5].