3.3.2.2. Распределение энергии электронов

Подробно обсудив физические явления, связанные с определением сечения возбуждения электронным ударом, рассмотрим теперь распределение энергии электронов.

Если предположить, что распределение энергии является максвелловским, то применимо соотношение (3.29) и единственная величина, которая должна быть известна, — это электронная температура . Температуру Те можно связать с прикладываемым электрическим полем 8. Для этого сделаем упрощающее предположение, а именно будем считать, что при каждом столкновении теряется некоторая доля кинетической энергии электрона. Если средняя тепловая скорость электрона, то средняя кинетическая энергия равна Частота столкновений равна , где I — средняя длина свободного пробега электрона. Следовательно, при столкновении электрон теряет мощность эта мощность должна быть равна мощности, подводимой электрическим полем которая в свою очередь равна Таким образом, можно написать уравнение

которое дает одно из необходимых соотношений между двумя неизвестными величинами . Следовательно, нам нужно еще одно уравнение. Его можно получить, рассматривая свободное движение электрона между двумя последовательными столкновениями в точках 1 и 2 на рис. 3.21. Предположим, что после каждого столкновения электрон рассеивается в случайных направлениях и, следовательно, теряет преимущественное

направление скорости дрейфа. Таким образом, предполагается, что в точке 1 электрон имеет лишь тепловую скорость направление которой с приложенным электрическим полем составляет угол За время свободного пролета между точками 1 и 2 электрон будет ускоряться электрическим полем. Импульс, сообщаемый этим полем электрону, равен где — расстояние между точками 1 и 2 (среднее значение этой величины примем равным средней длине свободного пробега электрона).

Рис. 3.21. Вычисление скорости дрейфа, обусловленной ускорением электрона внешним электрическим полем между двумя столкновениями.

Этот импульс можно приравнять изменению количества движения электрона, т. е. величине тудрейф. Таким образом мы получим следующее выражение:

которое вместе с (3.36) образует систему двух уравнений для двух неизвестных и удрейф. Из этих уравнений имеем:

Поскольку электронная температура определяется выражением [см. (3.30)], из (3.37) получаем искомое выражение для Т:

Поскольку средняя длина свободного пробега I обратно пропорциональна давлению газа из (3.38) следует, что для данного

газа электронная температура Те определяется лишь отношением Это отношение представляет собой фундаментальную величину, которая определяет установление данной электронной температуры в системе и которую используют нередко на практике в качестве полезного параметра при определении условий разряда. Для конкретной смеси газов обычно существует некоторое значение отношения при котором получается максимальная скорость накачки. Слишком малое значение приводит к очень низкой электронной температуре Т, и лазерные уровни накачки не могут эффективно возбуждаться. Наоборот, при слишком большом значении следовательно, и Т) возбуждаются более высокие уровни (которые не могут сильно взаимодействовать с лазерным переходом) и возникает избыточная ионизация (которая может вызывать неустойчивый разряд, т. е. тлеющий разряд может перейти в дуговой) газовой смеси.

Представленный выше расчет является довольно грубым, поскольку он основан на предположении о том, что электрон теряет при столкновении часть своей энергии, равную 6. Хотя данное условие выполняется при упругих столкновениях с атомами (в этом случае для неупругих столкновений это неочевидно [электрон-электронные столкновения не играют никакой роли в уравнении энергетического баланса (3.36), поскольку они просто перераспределяют скорости электронов без изменения их средней энергии]. Следует заметить, что упругие столкновения в действительности происходят намного чаще, чем неупругие (сечение упругих столкновений обычно много больше сечения неупругих столкновений). Однако доля энергии, теряемая при упругих столкновениях, очень мала. В самом деле, если бы упругие столкновения были основным механизмом охлаждения электронов, то основная часть энергии разряда тратилась бы на нагрев атомов, а не на их возбуждение, и разряд не был бы столь эффективным для накачки лазера. Другая причина, почему наши вычисления нельзя считать адекватными, состоит в предположении о максвелловском характере распределения, что не выполняется на практике [14]. Тем не менее в лазерах на нейтральных атомах и в ионных газовых лазерах отклонение от максвелловского распределения невелико, и в этих случаях в расчетах нередко используют максвелловское распределение. Однако в молекулярных лазерах, генерирующих на колебательных переходах, газ ионизован очень слабо и средняя энергия электронов мала эВ, поскольку необходимо возбудить только колебательные состояния) по сравнению с энергией (10—30 эВ), необходимой для лазеров на нейтральных атомах и ионных газовых лазеров. Соответственно следует ожидать,

что приближение максвелловского распределения не будет адекватным для молекулярных лазеров. В этом случае, чтобы получить распределение энергии электронов расчет необходимо провести ab initio (с самого начала). С этой целью для электронов записывают кинетическое уравнение (уравнение Больцмана), которое требует знания всех возможных процессов столкновения электронов, приводящих к возбуждению (или снятию возбуждения) колебательных или электронных уровней во всех компонентах газовой смеси в разряде.

Рис. 3.22. Сравнение распределения энергии электронов для газовой смеси в отношении (из работы [15]) с распределением Максвелла при той же средней энергии. На этом же рисунке представлена кривая для сечения возбуждения молекул азота электронным ударом вплоть до колебательного уровня с (из работы [22]). Приведенные кривые отражают скорее физическую картину явлений, чем конкретные числовые значения, полученные в упомянутых выше работах.

Таким образом, расчет становится совершенно запутанным, а в некоторых случаях и неосуществимым из-за отсутствия необходимых данных о сечениях столкновений электронов. Подробные расчеты на были сделаны только для играющих особо важную роль газовых смесей, таких, как смесь , используемая в -лазерах высокой мощности [15, 16]. В качестве примера на рис. 3.22 показано вычисленное распределение для смеси газов при условии, что отношение порядка (мм рт. ст.). На том же рисунке приведено и максвелловское распределение соответствующее той же средней энергии электронов. Заметим, что в этом случае существенно отличается от максвелловского распределения. Чтобы лучше понять этот результат, на том же рисунке показано сечение возбуждения электронным ударом для молекулы вплоть до колебательного уровня с . В -лазере электрическая накачка осуществляется главным образом возбуждением

этих уровней с последующей передачей энергии молекуле Из рисунка видно, что проседание кривой по сравнению с максвелловой кривой при эВ обусловлено очень большим значением о Действительно, очень немногие электроны, ускоряемые электрическим полем разряда, переходят барьер эВ, поскольку они немедленно примут участие в возбуждении молекул Поэтому электроны накапливаются в области энергии меньше 2 эВ.

Рис. 3.23. Распределение энергий электронов и сечений поглощения на переходах в гелии (кривые для сечений заимствованы из работы [13]).

Из сказанного ясно, что в этом случае понятие электронной температуры теряет свой смысл. Однако можно все же определить среднюю тепловую скорость, среднюю энергию электронов и среднюю скорость дрейфа. Используя уравнения сохранения энергии и импульса, можно и в этом случае показать, что энергия электронов и скорость дрейфа (для рассматриваемой газовой смеси) зависят лишь от отношения что мы и получили из предыдущих грубых рассуждений.

Для сравнения с результатами рис. 3.22 на рис. 3.23 представлены распределение энергии и сечения поглощения, которые соответствуют разряду в гелии при условиях работы -лазера. В этом случае предполагалось наличие максвелловского распределения со средней энергией электронов 10 эВ. Представленные на рисунке сечения соответствуют возбуждению электронным ударом на уровни гелия (которые действуют как уровни накачки неона, опять-таки путем передачи энергии). Заметим, что эти сечения примерно на два порядка меньше сечений для молекулы Такой результат объясняет, почему максвелловское распределение является весьма хорошим приближением в данном случае. Обратите внимание

также на аналогию, которую можно установить между рис. 3.5, 3.22 и 3.23. Действительно, спектр излучения лампы на рис. 3.5 можно считать эквивалентным распределению энергий электронов на рис. 3.22 и 3.23.