6.6.1. Фотофизические свойства полупроводниковых лазеров

В данном разделе мы напомним некоторые наиболее элементарные результаты теории полупроводников, имеющие непосредственное отношение к нашему обсуждению. За более подробным рассмотрением читатель может обратиться к общепринятым учебникам по квантовой механике твердых тел [33].

6.6.1.1. Энергетические состояния в полупроводниках

Волновую функцию электрона в данной зоне, например валентной, можно записать в виде волновой функции Блоха:

где обладает теми же свойствами периодичности, что и кристаллическая решетка, а постоянная распространения к связана с импульсом электрона известным соотношением

Для полупроводникового кристалла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с размерами вектор к квантуется аналогично выражению (2.10), а именно

где — целое число.

Если блоховскую волновую функцию (6.24) подставить в волновое уравнение Шрёдингсра, описывающее движение электрона в полупроводнике, то окажется, что разрешенные значения энергии электронов попадают в зоны, среди которых низшая заполненная зона называется валентной, а следующая, более высокая — зоной проводимости. Появление зонной структуры связано с дифракцией Брэгга блоховской волновой функции на периодическом кристаллическом потенциале. Однако существование валентной зоны и зоны проводимости можно объяснить с помощью несложных физических соображений. Рассмотрим для простоты случай натрия, в котором каждый атом имеет 11 электронов. Десять из них тесно связаны с ядром и образуют положительный ион с зарядом е. Одиннадцатый электрон движется по орбите вокруг этого иона. Обозначим энергии этого последнего электрона в основном и первом возбужденном состоянии через а соответствующие волновые функции и Рассмотрим теперь два атома натрия, расположенные на некотором расстоянии Если много больше размеров атома, то два атома не будут взаимодействовать друг с другом и энергии обоих состояний не изменятся. По другому это можно выразить следующим образом. Если рассматривать, например, два атома в их энергетических состояниях то одноэлектронный уровень энергии двухатомной системы по-прежнему равен и этот уровень дважды вырожден. Действительно, полную волновую функцию можно выразить через комбинацию двух волновых функций причем эти две функции складываются либо в фазе, либо в противофазе (рис. 6.38). В отсутствие потенциала взаимодействия эти два состояния имеют одну и ту же энергию Однако когда расстояние между атомами достаточно мало, энергии этих двух состояний будут слегка различаться: благодаря взаимодействию дважды вырожденный уровень расщепляется на два. Аналогично для системы из атомов, в которой атомы располагаются достаточно близко друг к другу и взаимодействуют между собой,

-кратно вырожденное состояние с энергией расщепляется на близко расположенных уровней. Следовательно, состояние с энергией приводит к валентной зоне, в то время как состояние с энергией приводит таким же образом к зоне проводимости (рис. 6.39). Из предыдущих рассуждений следует, что каждая зона на самом деле состоит из близко расположенных уровней, где — полное число атомов в кристалле полупроводника. Поскольку как правило, очень велико, отдельные уровни энергии полупроводника внутри каждой зоны в общем случае не могут быть разрешены.

Рис. 6.38. Симметричная (а) и антисимметричная (б) линейные комбинации атомных волновых функций и двух одинаковых атомов, находящихся на расстоянии друг от друга.

Рис. 6.39. N-кратное расщеплеппе атомных энергетических уровней как функция межатомного расстояния для системы из атомов.

В пределах каждой зоны разрешенные значения энергии можно связать с соответствующими значениями к выражением, которое в приближении параболической зоны записывается так же, как и в случае свободной частицы. Таким образом, для зоны проводимости имеем

где — эффективная масса электрона в зоне проводимости. Аналогично для валентной зоны имеем

здесь - эффективная масса электрона в валентной зоне. Заметим, что энергия Е отсчитывается от дна зоны проводимости в случае и от верхушки валентной зоны в случае

На рис. 6.40 построены кривые разрешенных значений Е в зависимости от вычисленных по формулам (6.26) — (6.28). На рисунке эти значения обозначены темными точками в валентной зоне и светлыми кружками в зоне проводимости. Заметим, что, согласно выражению (6.26), разрешенные состояния разделены по оси равными промежутками Заметим также, что ситуация, изображенная на рис. 6.40, соответствует прямозонному полупроводнику, в котором минимум зоны проводимости и максимум валентной зоны приходятся на одну и ту же точку в пространстве волновых векторов к.

Рис. 6.40. Зависимости энергии П от импульса для прямозонного полупроводника в рамках приближения параболической зоны.