8.4.2. Аналитическое рассмотрение

Чтобы подойти вплотную к аналитическому описанию как ГВГ, так и параметрических процессов, необходимо показать, каким образом можно ввести в волновое уравнение нелинейный член поляризации [например, в виде (8.41)], вызывающий генерацию волн. Поля в среде удовлетворяют уравнениям Максвелла:

где — плотность свободного заряда. Для среды, представляющей интерес в нашем случае, можно считать, что намагниченность М равна нулю. Таким образом, мы имеем

Потери в среде (например, вследствие рассеяния) могут быть учтены введением воображаемой проводимости таким образом, чтобы выполнялось соотношение

Окончательно можно записать следующее выражение:

где — линейная поляризация среды, которую обычно учитывают введением диэлектрической проницаемости е. Покажем теперь, что если в уравнение Максвелла подставить величину определяемую соотношением (8.63), то в волновом уравнении появляется нелинейный член поляризации риелни. Применим к обеим частям уравнения (8.60а) оператор V и заменим в правой части этого уравнения порядок следования операторов V и Используя при этом выражения (8.606) и (8.61) — (8.63), сначала получаем

Учитывая здесь тождество и предполагая, что уравнение (8.64) можно переписать в виде

где — фазовая скорость электромагнитной волны в среде. Уравнение (8.65) представляет собой волновое уравнение, в котором имеется нелинейный член поляризации. Заметим, что член, учитывающий линейную поляризацию среды, входит в левую часть этого уравнения и включен в диэлектрическую проницаемость е. Нелинейный же член расположен в правой части уравнения. Покажем, что этот член играет роль источника волн, генерируемых на новых частотах, а также источника потерь падающей волны. В простом скалярном случае плоских волн, распространяющихся вдоль оси уравнение (8.65) принимает вид

Амплитуда поля на частоте запишется следующим образом:

где в общем случае является комплексной величиной. Аналогично для амплитуды нелинейной поляризации на частоте имеем

Поскольку уравнению (8.65а) должна удовлетворять по отдельности каждая из распространяющихся в кристалле волн соответствующей частоты, в левую часть этого уравнения можно подставить выражение (8.66а), а в правую его часть — выражение (8.66б). В рамках приближения медленноменяющейся

амплитуды можно пренебречь второй производной величины т. е. предположить, что При этом уравнение (8.65а) принимает вид

где были использованы соотношения — скорость света в вакууме, а — показатель преломления на частоте

Уравнение (8.67) мы будем использовать в последующих разделах как основное. Заметим, что оно было получено в предположении существования скалярного соотношения между векторами и Е [см. (8.41)], что не является правильным. В действительности же следует использовать тензорное соотношение [см. (8.54)]. Однако можно показать, что, если теперь рассматривать как компоненту поля вдоль некоторой оси, а в выражении (8.41) коэффициент заменить его эффективным значением то предположение о скалярном соотношении между Р и Е оказывается справедливым. Вообще говоря, величина представляет собой комбинацию одного или нескольких коэффициентов входящих в (8.54), и углов определяющих направление распространения волны в кристалле угол, который волновой вектор составляет с осью — угол, который проекция волнового вектора на плоскость составляет с осью х кристалла). Например, в случае кристалла точечной группы симметрии и фазового синхронизма типа I получаем Однако для простоты записи в соотношении (8.41) сохраним символ помня при этом, что на самом деле это т. е. эффективное значение коэффициента