4.4. Плоскопараллельный резонатор

4.4.1. Приближенная теория

Первое упоминание об изучении плоскопараллельного резонатора появилось в классической работе Шавлова и Таунса [5], в которой они предложили распространить принцип действия мазера на диапазон оптических частот. Шавлов и Таунс рассмотрели эту задачу, используя аналогию с закрытым прямоугольным резонатором, моды которого хорошо известны (см. разд. 2.2).

Прежде чем излагать теорию Шавлова и Таунса, напомним, что в случае прямоугольного резонатора, показанного на рис. 2.1, составляющие напряженности электрического поля Е можно записать в виде

где — положительные целые числа), а резонансные частоты даются выражением

Заметим, что выражения (4.68) можно записать в комплексной форме, если представить синусы и косинусы через экспоненциальные функции. При этом можно показать, что каждая составляющая поля Е записывается как сумма восьми членов вида т. е. как сумма восьми плоских волн, распространяющихся вдоль направлений, определяемых восемью волновыми векторами с компонентами

Следовательно, направляющие косинусы этих векторов равны где К — длина волны, соответствующая данной моде. Суперпозиция этих восьми плоских волн дает стоячую волну, определяемую выражениями (4.68).

Кроме того, Шавлов и Таунс высказали предположение о том, что моды открытого резонатора на рис. 4.1 с хорошей точностью описываются теми модами прямоугольного резонатора (см. рис. 2.1), для которых (резонатор на рис. 4.1 получается из резонатора, изображенного на рис. 2.1, путем удаления боковой поверхности). Доказательством справедливости этого предположения является то, что моды рассматриваемого нами резонатора можно представить в виде суперпозиции плоских волн, распространяющихся под очень малыми углами к оси Следовательно, можно ожидать, что отсутствие боковой поверхности существенно не изменит эти моды. Однако на те моды, у которых значения I и не малы по сравнению с отсутствие боковой поверхности окажет сильное влияние. После удаления боковых сторон резонатора дифракционные потери для этих мод становятся столь большими, что их не имеет смысла в дальнейшем рассматривать.

Если то резонансные частоты плоскопараллельного резонатора можно найти из выражения (4.69) путем разложения его в степенной ряд:

Это выражение можно сравнить с (4.3), которое было получено из простых соображений для одномерного случая. Таким образом, для каждого набора трех значений существует вполне определенная мода резонатора с вполне определенной резонансной частотой.

Из выражения (4.70) можно сразу получить разность частот между двумя модами, имеющими одни и те же значения I и но различающиеся на единицу значения Таким образом,

Эти две моды отличаются друг от друга лишь распределением поля вдоль оси z (т. е. в продольном направлении). Поэтому нередко называют разностью частот между двумя последовательными продольными модами. Разность частот между двумя модами, различающимися лишь значениями на единицу (т. е. разность частот между последовательными поперечными

модами), записывается в виде

Для типичных значений величины составляют порядка нескольких сотен мегагерц, тогда как (или ) - порядка нескольких мегагерц.

Рис. 4.19. Резонансные частоты плоскоп аллельного резонатора.

На рис. 4.19 показан спектр частот плоскопараллельного резонатора. Следует заметить, что моды с одинаковыми но разными значениями I и удовлетворяющими условию имеют одну и ту же частоту и поэтому их называют частотно-вырожденными.