5.4. Нестационарный режим работы лазера

Для того чтобы изучить нестационарный режим работы четырехуровневого и трехуровневого лазеров, необходимо решить соответственно уравнения (5.18) и (5.24). При этом, если заданы начальные условия, то для данной временной зависимости скорости накачки мы находим временные зависимости Ниже будет рассмотрено несколько интересных

примеров нестационарного режима работы лазеров. Поскольку уравнения, описывающие нестационарный режим, являются нелинейными относительно переменных q(t) и N(t) (действительно, они входят в эти уравнения в виде произведения qN), общее аналитическое решение получить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь обсуждением некоторых важных результатов.

5.4.1. Релаксационные колебания в одномодовых лазерах

Прежде всего рассмотрим случай, когда скорость накачки описывается ступенчатой функцией. Таким образом, предположим, что при не зависит от времени) при Предположим сначала, что лазер генерирует на одной моде, поскольку лишь при этом условии, строго говоря, справедливы уравнения (5.18) и (5.24).

В качестве характерного примера на рис. 5.24 приведены зависимости полученные путем численного расчета для трехуровневого лазера, такого, как рубиновый лазер. При расчетах использовались следующие начальные условия: где — некоторое небольшое число фотонов, необходимое лишь для того, чтобы возникла генерация. Следует заметить, что зависимость, аналогичную показанной на этом рисунке, будет также проявлять и четырехуровневый лазер, такой, как за исключением того, что в данном случае Таким образом, если на рис. 5.24 начало временной оси совместить с точкой то кривые на этом рисунке будут также представлять и четырехуровневый лазер. Укажем теперь на некоторые особенности кривых, представленных на рис. 5.24: 1) число фотонов в резонаторе описывается регулярной последовательностью уменьшающихся по амплитуде пиков (пичков) с временным интервалом между ними, равным нескольким микросекундам; выходное излучение будет вести себя аналогичным образом; такую генерацию обычно называют режимом регулярных пичков; 2) инверсия населенностей осциллирует относительно стационарного значения в соответствии с выражениями (5.29а) и (5.296) для четырехуровневого лазера или (5.38) и (5.41) для трехуровневого лазера как так и и конечном счете достигают своих стационарных значений. Осциллирующий характер кривых объясняется тем, что, после того как изменилась инверсия населенностей, число фотонов изменяется не сразу, а с некоторой задержкой. Таким образом, когда проходит впервые через значение (на рисунке это соответствует достигается пороговое условие и лазер может начать генерировать. При этом в течение некоторого времени

число фотонов в резонаторе возрастает относительно своего начального значения, определяемого спонтанным излучением, и благодаря продолжающемуся процессу накачки инверсия населенностей в течение этого времени может непрерывно нарастать выше значения . Однако, когда достигнет достаточно большого значения (т. е. начнет уменьшаться из-за высокой скорости вынужденного излучения.

Рис. 5.24. Временные зависимости полной инверсии и числа фотонов в трехуровневом лазере. (Согласно работе [3].)

В момент времени, когда достигает максимума, спадает до значения Это нетрудно показать с помощью уравнения (5.18б) (четырехуровневый лазер) и (5.24б) (трехуровневый лазер), поскольку при мы имеем Вследствие все еще большой скорости вынужденного излучения населенность продолжает уменьшаться после значения При этом лазер оказывается в условиях ниже порогового и число фотонов уменьшается до столь малого значения, что опять начинает расти под действием накачки. В момент достижения пороговой населенности мы имеем и достигает своего минимального значения. Начиная с этого момента нарастает вновь и повторяется описанный выше цикл. Следует заметить, что, поскольку в конце концов достигаются стационарные решения, определяемые выражениями (5.29) или (5.38) и (5.41), численный расчет подтверждает, что эти решения соответствуют устойчивому режиму работы.

Для небольших колебаний около стационарных значений (т. е. приблизительно при на рис. 5.24) динамическое поведение можно описать аналитически. Действительно, если записать

и считать, что то в скоростных уравнениях в произведении можно пренебречь так что эти уравнения становятся линейными относительно переменных и Таким образом, ограничиваясь случаем четырехуровневого лазера, из (5.18) получаем

Заметим, что уравнение (5.72б) получено из (5.18б) с учетом того факта, что Подстановка (5.72б) в (5.72а) дает следующее уравнение:

Если искать его решение в виде

то находим, что величина удовлетворяет уравнению

где мы положили

Решением уравнения (5.75), очевидно, является

Сперва рассмотрим случай, когда

В этом случае квадратный корень в выражении (5.77) принимает мнимое значение, и мы можем написать причем

В этом случае в соответствии с выражением (5.74) величина будет представлять собой затухающее гармоническое колебание

(недодемпфированное колебание), т. е.

где С и определяются начальными условиями. Если подставить это выражение в уравнение (5.72б), то найдем, что представляет собой затухающее гармоническое колебание. Полагая , получаем

Заметим, что опережает на 90°, как нетрудно было предвидеть из нашего предыдущего обсуждения, поскольку прежде чем можно будет наблюдать возрастание сначала должна увеличиться инверсия

Выражения (5.76) можно переписать в более удобной для вычислений форме, если использовать явные выражения для (5.29а) и (5.30). Предполагая, что в (5.76а) можно пренебречь величиной и мы получаем

где — число, показывающее, во сколько раз превышено пороговое значение накачки. Заметим, что хотя постоянная времени затухания колебания определяется временем жизни верхнего состояния, период колебаний да да определяется геометрическим средним и временем жизни фотона . В качестве первого примера выберем рассмотренный в разд. -лазер, накачиваемый на выше порога и положим полные потери за проход равными Мы имеем да 14 не и из выражений . Заметим, что в данном случае мы имеем т. е., безусловно, выполняется условие (5.78) и тем самым подтверждается справедливость приближения со да со. В качестве второго примера рассмотрим типичный инжекционный GaAs-лазер с длиной резонатора мкм, в котором две грани сколоты и действуют как зеркала резонатора. В соответствии с выражением (4.50) коэффициенты отражения обоих зеркал в этом случае равны , где — показатель преломления GaAs. Следовательно, согласно определениям (5.7а) и (5.76), Мы также будем считать, что коэффициент потерь распределен вдоль длины полупроводника, и мы можем записать Отсюда имеем Время жизни верхнего уровня можно при

принять равным 3 не. Полагая вновь получаем не и не. В этом случае мы также имеем и условие (5.78), разумеется, выполнено.

Если условие (5.78) не выполняется, то оба решения для определяемые выражением (5.77), вещественны и отрицательны. В этом случае временная зависимость представляет собой суперпозицию двух экспоненциально затухающих релаксаций (задемпфированное колебание). Чтобы получить условие в соответствии с выражением (5.82), необходимо, чтобы выполнилось неравенство

откуда следует, что должно быть сравнимо с . Это условие обычно выполняется в газовых лазерах, в которых поэтому не проявляется пичковый режим. Если для примера выбрать Не—Ne-лазер, генерирующий на собственном красном переходе мкм), то мы имеем не. Выбрав резонатор длиной см и связь на выходе а также пренебрегая всеми остальными потерями, получаем не и условие (5.83) выполняется при любом значении х.

Прежде чем завершить данный раздел, следует заметить, что рассмотренное нестационарное поведение имеет место и в несколько ином случае, а именно когда лазер, генерирующий в стационарном режиме, испытывает внезапное возмущение (т. е. при где — две известные величины). Согласно проведенному выше обсуждению, возникшее в момент времени возмущение будет со временем затухать, как в недодемпфированном, так и в задемпфированном случаях. Поэтому стационарные решения , которые мы рассматривали в разд. 5.3, соответствуют устойчивому равновесию.