2.8. Вырожденные уровни

До сих пор мы рассматривали лишь простейший случай, когда оба уровня 1 и 2 являются невырожденными. Разберем теперь кратко часто встречающуюся на практике ситуацию, когда уровни вырождены. Такой случай схематически изображен на рис. 2.22, причем предполагается, что уровень 1 имеет кратность вырождения а уровень 2 — кратность вырождения Обозначим через полную населенность всех подуровней вырожденного нижнего уровня, а через то же, но относящееся к верхнему уровню. Будем использовать для обозначения населенности любого конкретного подуровня, относящегося соответственно к верхнему и нижнему уровню.

В качестве простейшего можно рассмотреть случай, когда уровни находятся в термодинамическом равновесии. При этом

населенность каждого подуровня обоих верхнего и нижнего уровней должна подчиняться обычному распределению Больцмана. Таким образом,

Однако, поскольку подуровни, например уровня 1, также находятся в термодинамическом равновесии, все их населенности должны быть одинаковы, т. е.

Аналогично имеем

При этом из (2.154) и (2.155) получаем

Рис. 2.22. Двухуровневая система со степенями вырождения каждого уровня

Сравнивая (2.156) с (1.8), мы видим, что последнее выражение справедливо не только для невырожденных уровней, но и для вырожденных уровней с одним и тем же вырождением (т. е.

Посмотрим теперь, как необходимо изменить выражения для сечения перехода, усиления и коэффициента поглощения в случае вырожденных уровней. Для этой цели рассмотрим электромагнитную волну, проходящую сквозь среду с данными населенностями обоих уровней, и поставим вопрос о том, как нужно изменить уравнения (2.131а) и (2.1316). Очевидно, что уравнение (2.131а) по-прежнему справедливо. Скорость изменения полной населенности верхнего уровня теперь должна учитывать все возможные переходы между уровнями и Таким образом, мы имеем

Однако если между подуровнями существует быстрая релаксация, все верхние подуровни будут снова заселены одинаково и то же самое справедливо для нижних подуровней. Следовательно,

Подставляя эти выражения в (2.157), получаем

где

а

Изменение плотности потока фотонов при прохождении пучком в среде расстояния (см. рис. 1.2) с помощью уравнения (2.159) можно записать в виде

При этом можно определить сечение вынужденного излучения и сечение поглощения следующим образом с (2.82)]:

Отсюда с очевидностью следует

В случае когда выражение (2.162) с помощью (2.1636) можно записать в виде хорошо известного соотношения если определить коэффициент поглощения а как

Аналогично, в случае когда с учетом (2.163а) выражение (2.162) принимает хорошо известную форму: где коэффициент усиления определяется следующим образом:

Теперь становится понятным, почему сечения определяются выражениями соответственно (2.163а) и (2.1636). Когда (что обычно имеет место при измерениях поглощения на оптических переходах), выражение (2.165) принимает простой вид: И наоборот, когда (как в случае четырехуровневого лазера), простой вид принимает выражение (2.166), а именно

Представляет интерес и другой случай, когда верхний (2) или нижний (1) уровень состоит из подуровней (самовырожде-ние), различающихся по энергии, но релаксация между этими подуровнями происходит мгновенно. В данном случае между каждым из подуровней 1 и 2 будет возникать термализация и вместо соотношений (2.158) можно написать

здесь — доля полной населенности уровня 2 (уровня 1), которую в соответствии со статистикой Больцмана имеет подуровень (функция распределения по уровням). Если теперь предположить, что вынужденный переход происходит с данного подуровня (скажем, I) уровня 2 на определенный подуровень (скажем, ) уровня 1, то с помощью соотношений (2.167а) и (2.167б) уравнение (2.157) можно переписать в виде

Входящие в это уравнение эффективные вероятности вынужденного излучения и вынужденного поглощения а также скорость спонтанной релаксации даются соответственно выражениями

Заметим, что в соответствии с (2.169а) и (2.169б) эффективное сечение вынужденного излучения и эффективное сечение поглощения можно определить следующим образом:

здесь — действительное сечение данного перехода.