4.8.2. Описание с помощью волновой оптики

До сих пор в нашем рассмотрении мы пользовались соображениями геометрооптической оптики. Чтобы получить более близкую к действительности картину мод неустойчивого резонатора, необходимо использовать волновое приближение (например, можно снова использовать дифракционный интеграл Кирхгофа). Мы не будем здесь рассматривать подробно этот вопрос, а лишь приведем и обсудим некоторые важные результаты.

Рис. 4.42. Типичный пример радиального распределения интенсивности моды в неустойчивом резонаторе, полученного с помощью интеграла Кирхгофа. Результаты получены для конфокального резонатора, соответствующего положительной ветви, с . Вертикальными линиями отмечены положения краев выходных зеркал. (Согласно Реншу и Честеру [17].)

Что касается собственных решений, то волновое приближение дает следующие результаты: 1) фаза решения соответствует волновому фронту, форма которого близка к сферической, причем радиус волнового фронта почти равен значению того радиуса (хотя всегда немного больше), которое получается из геометрооптического приближения; 2) радиальная зависимость амплитуды решения существенно отличается от той, которая получается из геометрооптического рассмотрения [т. е. она не имеет зависимости, описываемой выражением (4.151). На рис. 4.42

в качестве примера приведена одна из таких радиальных зависимостей. На внешней стороне радиального распределения интенсивности наблюдается более или менее монотонный спад при движении к периферии зеркала 1. Кроме того, на все распределение интенсивности накладывается характерная кольцевая структура. Наличие монотонно спадающей части пучка связано с тем фактом, что дифракция света за пределы резонатора происходит в основном из периферийной области пучка. Кольцевая структура обусловлена тем, что во внутреннее поле резонатора дает вклад дифракция света на резкой границе зеркала 2 (рис. 4.42). Следует также заметить, что волновая теория тоже предсказывает существование различных мод, т. е. различных самовоспроизводящихся пространственных структур поля. Эти моды отличаются друг от друга положением и интенсивностью колец, обусловленных дифракцией. На рис. 4.43 показаны для примера три такие моды. Четкого различия между модами низшего и более высокого порядков установить теперь невозможно. Тем не менее следует заметить, что амплитуда поля моды, обозначенной на рисунке индексом больше концентрируется вблизи оси у пучка, и поэтому следует ожидать, что данная мода будет иметь наименьшие потери. Если изменять параметры резонатора (М и то обнаружится новая характерная особенность: для каждого полуцелого значения определенного соответствующим образом эквивалентного числа Френеля (Лэкв) модой «низшего порядка» (т. е. модой с минимальными потерями) становится отличная от других и четко выделяемая мода. Это обстоятельство иллюстрируется рис. 4.44, где показана зависимость собственного значения а от для трех мод с последовательными индексами (соответствующие потери вычисляются по формуле Для однонаправленного конфокального резонатора положительной ветви мы имеем где определяемое обычным образом число Френеля для зеркала 2, т. е. Заметим, что при

Рис. 4.43. Амплитудные профили трех собственных мод низшего порядка открытого неустойчивого резонатора с (Согласно Сигмену [14].)

(т. е. в случае резонатора с малыми потерями) Для конфокального резонатора отрицательной ветви вместо предыдущего выражения получаем

На рис. 4.44 хорошо видно, что для каждого полуцелого значения Аэкв потери моды «низшего порядка» и других мод сильно отличаются друг от друга. Отсюда следует, что в этих условиях можно получить эффективную селекцию поперечных мод. Однако необходимо заметить, что в точке пересечения кривых, описывающих потери двух мод (приблизительно при целых значениях на рис. 4.44), распределения интенсивностей двух пересекающихся мод становятся одинаковыми.

Рис. 4.44. Типичный пример колебательного поведения модуля собственного значения а в зависимости от эквивалентного числа Френеля для трех последовательных мод.

Если обратиться, например, к рис. 4.43, то происходящее можно описать следующим образом. Когда изменяется от 0,6 до приблизительно

1, распределение интенсивности моды расширяется в сторону больших значений х, в то время как распределение моды стягивается вовнутрь, так что при оба распределения становятся одинаковыми. Следовательно, в этой точке значительная разница в потерях существует между модой и модами (с точки зрения дифракционных свойств эти моды можно рассматривать по существу как одну и ту же . В заключение можно сказать, что неустойчивые резонаторы в любом случае обеспечивают хорошую селекцию поперечных мод, особенно при полуцелых значениях

На рис. 4.44 указано также геометрооптическое значение величины для решения нулевого порядка [согласно выражениям (4.152), эта величина равна независимо

от размеров зеркал и, следовательно от При каждом полуцелом значении мода низшего порядка имеет существенно меньшие потери по сравнению с предсказываемыми геометрической оптикой. Это обусловлено тем, что, согласно предсказаниям волновой оптики, распределение интенсивности стремится сконцентрироваться вблизи оси пучка (см. рис. 4.42).

Рис. 4.45. (см. скан) Потери на вывод излучения в неустойчивом резонаторе в зависимости от увеличения М. Штриховая кривая получена в приближении геометрической оптики; сплошные кривые вычислены из волновой теории. (Согласно Сигмену [14].)

Такой эффект хорошо виден на рис. 4.45, на котором потери у представлены в зависимости от коэффициента увеличения М. Сплошные кривые на рисунке (которые отвечают двум последовательным полуцелым значениям ) получены с помощью теории дифракции, а штриховая кривая соответствует геометрооптическому результату.