5.4.5. Синхронизация мод

Метод синхронизации мод позволяет получить генерацию лазерных импульсов сверхкороткой длительности (от нескольких десятков фемтосекунд до нескольких десятков пикосекунд). Синхронизация мод соответствует условию генерации, при котором моды резонатора генерируют с примерно одинаковыми амплитудами и синхронизованными фазами.

В качестве первого примера рассмотрим генерацию продольных мод с одинаковыми амплитудами (рис. 5.37, а). Предположим, что фазы мод в выходном пучке синхронизованы таким образом, что между ними выполняется соотношение

где — постоянная величина. При этом полное электрическое поле электромагнитной волны в данной точке выходного пучка без учета постоянной части полной фазы можно записать в виде

где частота центральной моды, а межмодовое расстояние. Для простоты рассмотрим поле в той точке пространства, в которой фаза центральной моды равна нулю. В соответствии с выражением (5.107) полное электрическое поле волны можно записать следующим образом:

здесь

Выражение (5.108) показывает, что функция может быть представлена в виде синусоидальной волны с несущей частотой, равной частоте центральной моды причем амплитуда волны модулирована во времени. Если выбрать теперь новую временную переменную такую, что то выражение (5.108а) примет вид

Рис. 5.37. Частотное распределение амплитуд мод (представленных вертикальными линиями) лазера с синхронизованными модами; а — однородное распределение; б — гауссово распределение в полосе шириной измеряемой на полувысоте.

Нетрудно заметить, что сумма в правой части этого выражения представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем, равным При этом можно без особого труда вычислить и мы имеем

Чтобы понять физический смысл этого выражения, на рис. 5.38 мы построили величину пропорциональную интенсивности пучка, от времени для генерирующих мод. Видно, что благодаря выполнению условия синхронизации фаз (5.106) генерирующие моды интерферируют друг с другом и образуют равно отстоящих световых импульсов. Максимумы импульсов приходятся на те моменты времени, когда знаменатель в выражении (5.110) обращается в нуль. Таким образом, в новой системе отсчета времени максимум появляется при Числитель в выражении (5.110) также обращается в нуль при и мы видим, что

Следующий импульс появится, когда в выражении (5.110) числитель дроби вновь обратится в нуль. Это имеет место при таком значении при котором Поэтому два последовательных импульса разделены временем

При первый нуль функции на рис. 5.38 появится тогда, когда числитель дроби в выражении (5.110) вновь обратится в нуль. Это произойдет в такой момент времени при котором выполняется условие

Рис. 5.38. Временная зависимость квадрата амплитуды электрического поля в случае генерации семи мод, синхронизованных по фазе и имеющих одинаковые амплитуды.

Поскольку ширина измеренная на полувысоте функции (т. е. каждого лазерного импульса), приближенно равна мы имеем

здесь — полная ширина линии генерации (см. рис. 5.37,а).

Временную картину синхронизации мод на рис. 5.38 нетрудно понять, если различные моды представить в виде векторов на комплексной плоскости. При этом моде соответствует комплексный вектор с амплитудой вращающийся с угловой скоростью Если мы теперь перейдем к системе координат, вращающейся с угловой скоростью то центральная мода будет представлять собой вектор, неподвижный относительно этих осей, а мода — вектор, вращающийся с угловой скоростью . В момент времени в соответствии с (5.109) все векторы будут иметь нулевые фазы и, следовательно, одинаковое направление, которое будем считать расположенным в горизонтальной плоскости на рис. 5.39. В этом случае полное поле равно При векторы мод с частотой будут

вращаться в одном направлении (например, против часовой стрелки), в то время как векторы мод с частотой и в противоположном (по часовой стрелке), вектор же центральной моды остается неподвижным. Следовательно, в некоторый момент времени в случае, скажем, пяти мод картина будет выглядеть как на рис. 5.39, а. Если теперь ко времени мода 1 повернулась на угол имеет место, когда то мода Г повернется (по часовой стрелке) на угол а моды 2 и Т повернутся на Следовательно, все эти векторы снова совпадут с вектором центральной моды на частоте и полное электрическое поле опять станет равным Таким образом, временной интервал между двумя последовательными импульсами должен быть таким, чтобы что и утверждает выражение (5.111).

Рис. 5.39. Представление мод резонатора на комплексной плоскости (пять мод). Рисунок представляет временную точку, когда сумма пяти мод равна нулю.

Заметим, что на рис. 5.38 момент времени при котором функция впервые обращается в нуль, соответствует случаю, когда все векторы повернуты на один и тот же угол относительно друг друга (рис. 5,39, б). Чтобы выполнялось это условие, мода 1 должна повернуться лишь на угол или в более общем случае мод на угол ). Таким образом, время и тем самым длительность импульса теперь определяются выражением (5.112).

Прежде чем продолжить рассмотрение явления синхронизации мод, имеет смысл подытожить и прокомментировать полученные к настоящему моменту основные результаты. Мы установили, что условие синхронизации мод (5.106) определяет выходной пучок, который представляет собой синхронизованных по фазе импульсов, причем длительность каждого импульса

примерно равна обратной ширине линии генерации Этот результат нетрудно понять, если вспомнить, что временное поведение каждого импульса есть просто фурье-образ его частотного спектра. Отсюда видно, что, поскольку ширина линии генерации может быть порядка ширины линии усиления то можно надеяться, что синхронизация мод в твердотельных или полупроводниковых лазерах позволит генерировать очень короткие импульсы (до нескольких пикосекунд). В лазерах на красителе ширина линии усиления в сотни раз превышает эту величину в твердотельных лазерах, что дает возможность получать в этих лазерах и уже действительно были получены значительно более короткие импульсы (до приблизительно . В газовых же лазерах ширина линии усиления намного уже (до нескольких гигагерц) и поэтому генерируются относительно длинные импульсы . А теперь вспомним, что два последовательных импульса разделены временным промежутком определяемым выражением (5.111). Поскольку где — длина резонатора, мы имеем что в точности равно времени полного прохода резонатора. Следовательно, внутри лазерного резонатора генерация будет иметь вид сверхкороткого импульса длительностью определяемой выражением (5.112), который распространяется вперед и назад по резонатору. В самом деле, в этом случае пучок на выходе из какого-либо зеркала представляет собой импульсов, причем временной промежуток между двумя последовательными импульсами равен времени полного прохода резонатора. Характерные числовые значения подтверждают такое представление, поскольку пространственная протяженность импульса длительностью, скажем, равна мм, т. е. много меньше типичной длины резонатора лазера.

Прежде чем продолжить рассмотрение, необходимо указать на то, что происходит в случае, когда фазы являются случайными. На рис. 5.40 показано временное поведение квадрата амплитуды поля для случая семи мод с межмодовым расстоянием имеющих одинаковые амплитуды и случайные значения фаз. Мы видим, что выходной пучок, в отличие от рассмотренного выше случая с синхронизацией мод, представляет собой теперь нерегулярную последовательность световых импульсов. Однако, как следует из общих свойств рядов Фурье, длительность каждого светового импульса по-прежнему равна или примерно — полная ширина линии генерации), среднее время между импульсами в точности равно а частота повторения импульсов Заметим, что, поскольку время отклика обычного электронного приемника, как правило, значительно превышает на выходе многомодового

лазера без синхронизации мод не фиксируется столь сложное временное поведение, а регистрируется усредненная картина. Регистрируемая при этом величина мощности представляет собой просто сумму мощностей каждой моды, и, следовательно, она пропорциональна Поскольку в случае синхронизации мод пиковая мощность пропорциональна мы видим, что синхронизация мод полезна для создания импульсов не только с очень короткой длительностью, но также и с высокой пиковой мощностью.

Рис. 5.40. Временная зависимость квадрата амплитуды электрического поля для случая семи генерируемых мод с равными амплитудами и случайно выбранными фазами радиан).

Действительно, как это вытекает из приведенного выше рассмотрения, отношение пиковой импульсной мощности в случае синхронизации мод к средней мощности без синхронизации мод равно числу генерируемых мод, которое для твердотельных и жидкостных лазеров может быть довольно большим .

До сих пор мы ограничивались рассмотрением нереального случая спектра мод, имеющих одинаковые амплитуды (рис. 5.37, а). В общем случае модовый спектр имеет, как правило, колоколообразную форму. Для объяснения того, что происходит в этом случае, предположим, что модовый спектр имеет гауссово распределение (рис. 5.37,б). Следовательно, амплитуду для моды можно записать в виде

где — спектральная ширина линии, измеренная на половине высоты. Если мы снова предположим, что фазы синхронизированы в соответствии с выражением (5.106) и фаза центральной моды равна нулю, то можно снова записать в виде (5.108), причем амплитуда в системе отсчета

времени дается выражением

Если сумму аппроксимировать интегралом, т. е. записать то оказывается, что амплитуда поля пропорциональна фурье-образу величины спектральной амплитуды При этом получаем следующее выражение:

где ширина импульса определяемая на половине высоты, дается выражением

Рассмотренные два примера синхронизации позволяют сделать вывод о том, что при выполнении условия синхронизации мод (5.106) амплитуда поля оказывается пропорциональной фурье-образу спектральной амплитуды. Длительность импульса связана с шириной спектральной интенсивности соотношением где — числовой множитель (порядка единицы), который зависит от конкретного вида распределения спектральной интенсивности. Такой импульс называют импульсом, длительность которого определяется обратной шириной спектра

При условиях синхронизации, не совпадающих с (5.106), длительность выходного импульса может существенно отличаться от обратной ширины спектра. Если, например, представить в виде

[заметим, что условие (5.106) можно записать как и предположить, что амплитудное распределение является гауссовым [определяемым выражением (5.113)], то фурье-образ спектра можно снова получить аналитически, а амплитуду в этом случае можно записать следующим образом:

Отсюда видно, что интенсивность пучка, пропорциональная по-прежнему описывается гауссовой функцией с шириной равной

Здесь используется параметр а, встречающийся в выражении (5.118). Однако заметим, что из-за наличия в (5.117) квадратичного по модовому индексу I фазового члена функция имеет теперь квадратичный по времени фазовый член Отсюда следует, что у несущей частоты волны появилось линейное по времени смещение. Значение величины и тем самым величина этого смещения зависит от в (5.117), однако точное выражение для мы здесь не будем приводить, поскольку в дальнейшем оно не понадобится. Однако следует подчеркнуть, что импульс с линейно меняющейся во времени частотой, представленный в форме (5.118), может на самом деле быть получен при выполнении определенных условий синхронизации мод, определяемых выражением (5.117). Теперь нетрудно показать, что длительность импульса вида (5.118) не определяется обратной шириной спектра. Чтобы убедиться в этом, вычислим спектральную ширину импульса, применяя преобразование Фурье к выражению (5.118). Оказывается, что в этом случае ширина линии генерации равна

При выводе этого выражения использовано также соотношение (5.118а). Из (5.119) видно, что для т. е. для достаточно больших частотных смещений произведение значительно превосходит единицу. Физический смысл этого можно понять, если заметить, что спектральное уширение обусловлено теперь как амплитудной модуляцией поля [которой отвечает первый член в правой части выражения (5.119)], так и частотным сдвигом [которому отвечает второй член в правой части выражения (5.119)].