7.10. Когерентность более высокого порядка
Дополнительный способ описания различия между излучениями лазера и теплового источника состоит в том, что для соответствующих полей вводятся должным образом определенные функции когерентности высшего порядка. Действительно, в разд. 7.5 когерентные свойства волны были определены с помощью корреляционной функции 
Поскольку эта функция включает в себя произведение сигналов, полученных в два разных момента времени или в двух различных точках пространства, она называется корреляционной функцией первого порядка. Соответственно степень когерентности, определяемая с помощью этих функций, описывает статистические свойства волны только первого порядка. В действительности, чтобы получить полное описание поля, необходимо ввести целый класс корреляционных функций высшего порядка. Для краткости обозначим пространственные и временные координаты точки через 
При этом корреляционную функцию 
порядка можно определить следующим образом:
Это выражение содержит произведение 
членов, каждый из которых представляет собой функцию V, вычисленную в одной из 
пространственно-временных точек 
Соответствующая нормированная величина дается выражением
где П обозначает произведение. Очевидно, при 
эти выражения сводятся к выражениям (7.16а) и (7.17). Заметим, что в эксперименте, описанном в предыдущем разделе, пучки излучения от Не—Ne-лазера и ртутной лампы были приготовлены таким образом, что они имели одну и ту же степень пространственной и временной когерентности, т. е. ту же самую корреляционную функцию 
первого порядка. Однако, поскольку статистические свойства обоих сигналов полностью различны, можно предположить, что корреляционные функции 
высшего порядка будут отличаться в каждом из двух случаев и можно будет сделать различие между когерентной и некогерентной волнами. Сначала с помощью корреляционных функций высшего порядка необходимо уяснить, что мы подразумеваем под полностью когерентным светом. Начнем с замечания о том, что если волна является полностью когерентной в первом порядке [т. е. если 
], то
т. е. величину 
можно записать в виде произведения аналитического сигнала в точке 
на аналитический сигнал в точке 
Действительно, если полностью отсутствуют флуктуации поля, то средние по ансамблю, например в выражениях (7.11) или (7.16а), будут представлять собой просто произведения соответствующих сигналов. По аналогии полностью когерентную электромагнитную волну определяют как волну, для которой величина 
факторизуется при любом 
Таким образом,
В самом деле, когда полностью отсутствуют флуктуации поля, среднее по ансамблю выражения (7.60) будет представлять собой произведение аналитических сигналов. В этом случае из (7.61) найдем, что
для любого порядка 
. В частном случае, когда 
из выражения (7.63) следует, что
поскольку в этом случае 
С хорошим приближением можно считать, что сигнал от непрерывного лазера, генерирующего на одной моде, имеет лишь флуктуации фазы. Однако для частотно-стабилизированного лазера скорость изменения фазы мала. Например, в лазере,
генерирующем излучение с шириной полосы 
изменение фазы будет появляться приблизительно за время 
что 
Следовательно, на временном интервале, много меньшем чем 
или на расстояниях между эквифазными поверхностями 
пространственно-временных точек, которые много меньше, чем 
км, флуктуациями фазы можно пренебречь. В этом случае пучок не имеет флуктуаций и может рассматриваться как когерентный во всех порядках. Заметим, что в соответствии с материалом, изложенным в разд. 7.5.4, поле нестационарного лазерного пучка (например, лазера с синхронизацией мод или одномодового лазера с модулированной добротностью) можно также сделать когерентным во всех порядках, если устранить флуктуации. Следовательно, в обоих случаях, когда 
применимо выражение (7.65).
Тепловой же источник света обладает совершенно другими статистическими свойствами, и можно показать, что корреляционные функции высших порядков, описывающие его поведение, должны отличаться от функций, соответствующих когерентному источнику света. Рассмотрим, в частности, случай, когда 
При этом функцию 
можно найти из следующего выражения:
где 
-амплитуда поля в точке с координатой х [см. выражение (7.8)] и 
— плотность вероятности, определенная в разд. 7.4. Если теперь выражение (7.10) для 
использовать в выражении (7.66), то получим
поскольку в этом случае 
Сравнение выражений (7.67) и (7.65) показывает, что при том же самом значении функции 
т. е. при том же значении (средней) интенсивности функция корреляции 
порядка для теплового источника света в 
раз больше, чем для когерентного источника. Подставляя выражение (7.67) в (7.61), имеем
Сравнение выражений (7.68) и (7.64) показывает, что тепловой источник света может удовлетворить условию когерентности лишь при 
т. е. только в первом порядке. Отсюда следует, что тепловой источник может обеспечить в лучшем случае полную (первого порядка) пространственную и временную когерентности, так, как показано в предыдущем разделе.
