4.2.2. Интерферометр Фабри—Перо

Следующий предмет традиционной оптики, который мы рассмотрим, представляет собой многократная интерференция. Это явление имеет место в интерферометре Фабри — Перо, который является обычным спектроскопическим прибором и со времени его изобретения в играет очень важную роль в лазерной физике.

Рис. 4.12. Многолучевая интерференция в интерферометре Фабри — Перо.

Большая его популярность объясняется по крайней мере тремя различными причинами: 1) физические процессы, происходящие в нем, на фундаментальном уровне аналогичны тем, что имеют место в оптических резонаторах; 2) во многих случаях его применяют для селекции частот внутри лазерного резонатора; 3) его нередко используют для анализа спектра лазерного излучения. Поэтому в настоящем разделе мы рассмотрим свойства этого интерферометра, хотя и не очень подробно.

Интерферометр Фабри — Перо состоит из двух плоских и параллельных друг другу зеркал с коэффициентами отражения по мощности разделенных промежутком длиной заполненным средой с показателем преломления Рассмотрим плоскую волну с частотой падающую на интерферометр в направлении, составляющем угол с нормалью к обоим зеркалам (рис. 4.12). Эта волна схематически изображена на

рис. 4.12 лучом О. Выходной пучок, покидающий интерферометр, представляет собой суперпозицию пучка, прошедшего через оба зеркала (луч 1 на рис. 4.12), с пучками, возникающими благодаря многократным отражениям, — два из этих пучков указаны лучами 2 и 3 на рис. 4.12. Таким образом, амплитуда электрического поля выходного пучка получается суммированием амплитуд всех этих пучков с учетом соответствующих фазовых сдвигов. Для иллюстрации данного рассмотрения на рис. 4.12 приведены также выражения для электрического поля первых трех пучков. Если учесть все многократные отражения, то мы получим

В этом выражении, как и на рис. 4.12, Е — амплитуда пучка, падающего на интерферометр; и -коэффициенты пропускания для электрического поля обоих зеркал, а — соответствующие коэффициенты отражения для электрического поля; — фазовый набег при однократном прохождении, включающий в себя также и набеги фазы при прохождении обоих зеркал; — сдвиг фазы между последовательными отражениями, равный

здесь — сумма длин двух отрезков и на рис. 4.12, а угол связан с углом законом Снеллиуса Заметим, что (4.22) можно переписать в более простом виде:

где

Сумму геометрической последовательности, входящую в выражение (4.21); нетрудно вычислить, и мы имеем

Коэффициент пропускания Т интерферометра по мощности равен просто и из (4.25) находим

Поскольку а для зеркала без потерь выражение (4.26) преобразуется к виду

Это выражение и есть окончательный результат наших вычислений.

Для иллюстрации свойств интерферометра Фабри — Перо на рис. 4.13 построена зависимость пропускания Т интерферометра от частоты падающей волны, причем пропускание Т вычислено по формуле (4.27), в которой определяется выражением (4.23).

Рис. 4.13. Пропускание интерферометра Фабри — Перо в зависимости от частоты падающей полни.

Заметим, что кривая состоит из последовательности равностоящих максимумов. Эти максимумы наблюдаются, когда в т. е. когда

здесь — положительное целое число. В соответствии с выражением (4.23) частоты соответствующие этим максимумам, равны

Последнее выражение явно напоминает условие (4.3). Физический смысл этого можно понять, если заметить, что в максимуме пропускания, т. е. когда все волны, образующиеся вследствие многократных отражений, находятся в фазе. По причинам, которые станут ясными в конце этого раздела, разность частот между двумя соседними максимумами называется

свободной спектральной зоной интерферометра. Из формулы (4.29) нетрудно получить

Максимальное пропускание находим из выражения (4.27):

Заметим, что, если то независимо от величины коэффициента отражения зеркала Этот результат справедлив лишь в тех случаях, когда, как в нашем рассмотрении, можно пренебречь поглощением излучения в зеркалах (см. задачу 4.3). Минимумы пропускания достигаются при т. е. они располагаются посередине между соседними максимумами. Пропускание в точке минимума находим из выражения (4.27):

Следует отметить, что при обычных условиях величина очень мала. Если, например, выбрать то .

Чтобы вычислить ширину пика пропускания заметим, что в соответствии с формулой (4.27) пропускание упадет до половины своего максимального значения при смещении от угла которое определяется выражением

Полагая можно считать, что Тогда из выражения (4.33) получаем

откуда следует, что две точки на половине интенсивности максимума, соответствующие расположены симметрично по обеим сторонам максимума. Если положить то из последнего выражения имеем

и с учетом (4.23)

Определим теперь резкость интерферометра как

Из выражений (4.30) и (4.36) получаем

Резкость — это число, обычно много большее единицы, указывающее, насколько узка линия пропускания по сравнению с областью дисперсии. Рассмотрев снова случай получаем та 150.

Рис. 4.14. Пропускание по интенсивности сканирующего интерферометра Фабри — Перо в случаях, когда падающая волиа монохроматическая (а) и когда она состоит из двух воли с близкими частотами (б).

После этого общего описания свойств интерферометра Фабри—Перо рассмотрим теперь его применение для анализа спектра. Изучим простейший случай, когда интерферометр заполнен воздухом и падающий свет направлен перпендикулярно зеркалам интерферометра (т. е. ). Предположим, что длину можно менять в пределах нескольких длин волн, прикрепив, например, одну из двух пластин интерферометра к пьезоэлектрическому преобразователю (сканирующий интерферометр Фабри — Перо). Чтобы понять, что происходит в этом случае, рассмотрим вначале монохроматическую волну с частотой и длиной волны X. Из предыдущих рассуждений следует, что прошедший свет будет иметь максимумы при т. е. когда длина интерферометра равна (см. рис. 4.14, а)

здесь — положительное целое число. Изменение длины необходимое для перехода с одного пика пропускания на соседний, равно

Ширина каждого пика пропускания должна удовлетворять условию

где дается выражением (4.35). Следовательно, по аналогии с (4.37) можно написать

Рассмотрим теперь случай, когда на интерферометр падают две волны с частотами и Волна с частотой приведет к образованию максимумов пропускания, смещенных на расстояние от всех тех, которые образуются волной с частотой (рис. 4.14, б). В соответствии с условием (4.28) смещение должно удовлетворять соотношению

Поскольку

Две частоты и будут разрешены спектрометром, если

Минимальный частотный интервал который еще может быть разрешен, получается, когда в (4.45) имеет место равенство. Из выражений (4.42), (4.44) и (4.45) при этом получаем

Таким образом, резкость интерферометра определяет его разрешающую способность через область дисперсии.

Следует заметить, что когда т. е. когда максимумы пропускания на частотах и совпадают, хотя они и сдвигаются на один порядок по отношению друг к другу. Поэтому, когда в измерении появляется неоднозначность в размере целого числа областей дисперсии Таким образом, в случае когда интерферометр используется для измерений разности частот, мы получаем простой и однозначный результат лишь при откуда и следует название как области дисперсии (свободной спектральной зоны) интерферометра. Представленный выше результат нетрудно обобщить следующим образом: если — спектральная ширина линии падающего света, то, чтобы избежать неоднозначности в определении частоты, необходимо, чтобы Если в этом соотношении выполняется равенство, то из (4.46) получаем

Таким образом, резкость также служит показателем того, насколько резко мы можем разделять частоты в пределах полной спектральной ширины Дуген. Например, если выбрать то МГц. Если длина электромагнитной волны равна мкм (зеленый свет), то

Рис. 4.15. (см. скан) Кольца Фабри — Перо, образующиеся в фокальной плоскости линзы при падении на интерферометр Фабри — Перо рассеянного пучка, а — схема эксперимента; — наблюдаемый кольцевой рисунок в фокальной плоскости (рис. а) в случае, когда падающая волна является монохроматической; в — кольцевая картина в случае, когда падающий пучок состоит из двух монохроматических воли.

Это очень высокая разрешающая способность по сравнению, например, с тем наилучшим разрешением, которое может быть достигнуто в спектрометре с дифракционными решетками

Другой известный способ применения интерферометра Фабри— Перо показан на рис. 4.15. Рассеиватель, такой, как пластинка матового стекла или даже простая линза, помещается на пути падающего пучка, чтобы обеспечить широкий набор углов падения для света, попадающего в интерферометр Фабри—Перо. Таким образом, волну, падающую на вход интерферометра,

можно рассматривать как суперпозицию плоских волн, распространяющихся в различных направлениях. Свет, прошедший через интерферометр с определенной длиной, собирается при этом линзой в ее фокальной плоскости. Рассмотрим сначала пучок монохроматического света с частотой и предположим, что промежуток между двумя зеркалами интерферометра заполнен воздухом Тогда в соответствии с условиями (4.28) и (4.22) максимумы пропускания будут наблюдаться при тех углах которые удовлетворяют соотношению

Если рассматривать только те пучки, направления распространения которых лежат в плоскости рис. 4.15, а, то для каждого угла в фокальной плоскости будут наблюдаться две яркие точки Р и Р. Рассмотрим теперь весь набор падающих лучей, а не только те, что в плоскости рисунка. Мы видим, что прошедший свет, соответствующий углу образует в фокальной плоскости яркую окружность радиусом

где — фокусное расстояние линзы. Если учесть все возможные углы то пропущенный свет образует в фокальной плоскости набор концентрических колец, радиусы которых нетрудно найти из выражений (4.48) и (4.49) (рис. 4.15, б). Если теперь рассмотреть второй пучок при частоте то в фокальной плоскости образуется второй набор концентрических колец, слегка смещенных по радиусу относительно колец первого набора (рис. 4.15, в). Как и для сканирующего интерферометра Фабри — Перо, в данном случае нетрудно показать, что 1) для устранения неоднозначности в определении частоты необходимо иметь если то два набора колец будут разрешены в том случае, когда где - резкость интерферометра.