4.7. Обобщенный сферический резонатор

Рассмотрим теперь общий случай резонатора из двух сферических зеркал, имеющих радиусы и разделенных друг от друга промежутком длиной Знак радиуса кривизны берется положительным для вогнутого и отрицательным для выпуклого зеркала. Наша задача состоит в том, чтобы вычислить амплитуды мод, дифракционные потери и резонансные частоты. Поскольку могут принимать любые значения (либо положительные, либо отрицательные), можно будет составить такую комбинацию зеркал, которая приведет к неустойчивой конфигурации резонатора (см., например, рис. 4.6). В связи с этим

представляет интерес определение условия устойчивости обобщенного сферического резонатора. Для последующего рассмотрения удобно ввести следующие две безразмерные величины 81 и

4.7.1. Амплитуды мод

Для того чтобы вычислить распределение поля, представим себе, что на рис. 4.31 синфазные поверхности 1! и 2 замещены двумя зеркалами, причем радиусы кривизны зеркал и эквифазных поверхностей совпадают. Предположим также, что исходные зеркала 1 и 2 удалены. Теперь резонатор будет образован зеркалами V и 2, и распределение поля внутри резонатора, очевидно, не изменится. Соответственно размер пятна и эквифазные поверхности как внутри, так и вне резонатора останутся теми же самыми, что и на рис. 4.31. Однако из формулы (4.98) можно заметить, что эквифазные поверхности 1 и 2 уже не являются конфокальными и резонатор, образованный зеркалами Г и 2, теперь представляет собой некий обобщенный (т. е. не конфокальный) резонатор со сферическими зеркалами. В дальнейшем мы сформулируем ограничения на кривизны зеркал и расстояния между ними в обобщенном резонаторе. Таким образом, если заданы радиусы кривизны зеркал Г и 2, а также расстояние между ними то модовую картину можно получить при условии, что эквифазные поверхности совпадают с поверхностями зеркал в месте их расположения. Пусть — расстояния от обоих зеркал до перетяжки, тогда с помощью формул (4.106) и (4.107) получим

Очевидно также, что

Уравнения (4.122) - это система трех уравнений для трех неизвестных: Если эти уравнения решить, то с

помощью выражения (4.95) с учетом соотношений (4.96) — (4.99), в которых заменено на можно найти напряженность поля в любой точке внутри и вне резонатора. В частности, размер пятна на двух зеркалах в соответствии с (4.96) определяется выражением

Важным примером является случай, когда (симметричный резонатор). В этом случае перетяжка располагается посередине резонатора (т. е. и из уравнений (4.122) нетрудно найти, что

здесь в соответствии с (4.121) мы положили Размер пятна на зеркале вычисляем с помощью выражения (4.123), в котором используем (4.124). Таким образом, имеем

Рис. 4.35. Симметричный резонатор. Зависимость размера пятна на зеркале (нормированного на соответствующий размер пятна в конфокальном резонаторе такой же длины) от параметра резонатора где - длина резонатора, кривизна зеркала.

Таким образом, отношение этого размера пятна к размеру пятна на зеркале конфокального резонатора [см. (4.91)] равно На рис. 4.35 построена зависимость отношения от величины Мы видим, что размер пятна 1) оказывается минимальным при (конфокальный резонатор), 2) становится бесконечно большим как при (плоский резонатор), так и при (концентрический резонатор) и 3) за исключением случаев, когда имеет значения, близкие к 1 или —1, не очень сильно отличается от своего значения для конфокального резонатора.

В более общем случае сферического резонатора с зеркалами различной кривизны вычисление с помощью уравнений (4.122) и выражения (4.123) оказывается более сложным из-за громоздких алгебраических выкладок. Однако выражения для размеров пятен на двух зеркалах оказываются довольно

простыми:

В случае симметричного резонатора выражения (4.126), очевидно, сводятся к формуле (4.125).