Приложения

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Полуклассическая теория взаимодействия излучения с веществом

В последующих расчетах для описания взаимодействия излучения с веществом мы будем использовать полуклассическую теорию. В этой теории атомная система предполагается квантованной (и, следовательно, описываемой законами квантовой механики), а электромагнитное поле падающей волны рассматривается классически (т. е. с помощью уравнений Максвелла).

Сначала займемся изучением явления поглощения. С этой целью рассмотрим обычную двухуровневую схему и предположим, что в момент времени атом находится в основном состоянии 1 и что с ним взаимодействует монохроматическая электромагнитная волна на частоте . С классической точки зрения атом в результате взаимодействия с электромагнитной волной приобретает дополнительную энергию Н. Например, это может произойти при взаимодействии электрического дипольного момента атома с электрическим полем Е электромагнитной волны . В данном случае будем говорить об электрическом диполыюм взаимодействии. Однако это не единственный вид взаимодействия, благодаря которому может произойти переход. Например, переход может осуществиться вследствие взаимодействия магнитного дипольного момента атома с магнитным полем В электромагнитной волны магнитное дипольное взаимодействие). Чтобы описать эволюцию этой двухуровневой системы во времени, необходимо обратиться к квантовой механике. Иными словами, если классическое рассмотрение приводит к энергии взаимодействия Я, то квантовомеханический подход вводит гамильтониан взаимодействия Вид этого гамильтониана можно найти из классического выражения для энергии Н с помощью хорошо известных правил квантовой механики. Однако в данном случае точный вид выражения для гамильтониана нас не интересует. Следует лишь заметить, что гамильтониан является синусоидальной функцией времени, частота которой равна частоте падающей волны. Таким образом, имеем

Тогда полный гамильтониан можно записать в виде

где — гамильтониан атома в отсутствие электромагнитной волны. Если для моментов времени полный гамильтониан известен, то зависимость волновой функция атома от времени можно найти из нестационарного уравнения Шредингера

Для того чтобы решить это уравнение относительно функции введем в рассмотрение, согласно (2.23), невозмущенные собственные функции уровней 1 и 2 соответственно, а именно функции и

Таким образом, функции удовлетворяют стационарному уравнению Шрёдингера

С учетом влияния электромагнитной волны волновую функцию атома можно записать в виде

где — зависящие от времени комплексные числа, которые подчиняются следующему соотношению:

Поэтому для вычисления вероятности перехода мы должны вычислить величину . В общем случае вместо следует писать

где обозначает состояние атома, число состоянии. Подставляя это выражение в уравнение Шрёдингера получаем

Это уравнение с помощью приводится к виду

Умножая обе части последнего уравнения на произвольную собственную функцию и интегрируя по объему, получаем

Поскольку волновые функции и ортогональны (т. е. с помощью обозначения

уравнение можно привести к виду

Таким образом, мы имеем дифференциальных уравнений для переменных и эти уравнения можно решить, если только известны начальные условия. Для двухуровневой системы уравнение приводит к двум уравнениям:

которые должны решаться с начальными условиями

До сих пор мы не делали никаких приближений. Чтобы упростить процедуру решения уравнений будем использовать метод возмущений. Предположим, что в правой части уравнений можно приближенно записать Решая уравнения с учетом такого предположения, находим решения для в приближении первого порядка. По этой причине развиваемая далее теория называется теорией возмущений первого порядка. Решения полученные таким образом, можно теперь подставить в правую часть уравнений, чтобы найти решение в приближении второго порядка, и т. д. Соответственно это называется теорией возмущений второго порядка и т. д. Следовательно, в первом порядке уравнения дают

где — частота атомного перехода. Чтобы вычислить вероятность перехода, достаточно решить лишь уравнение . С этой целью воспользуемся выражениями и запишем

где дается выражением

и является, вообще говоря, комплексной постоянной. Подставляя и интегрируя с учетом начального условия получаем

Полагая мы видим, что первый член в квадратных скобках много больше второго. В этом случае можно написать

где Таким образом,

Функция построена на рис. А.1 в зависимости от До). Видно, что при увеличении времени соответствующая кривая становится

более узком и более высокой. Кроме того, поскольку, как можно показать,

для достаточно больших значении можно положить

где через обозначена -функция Дирака. Отсюда получаем

Это выражение доказывает, что для достаточно больших интервалов времени вероятность обнаружить атом момент времени I на уровне 2 пропорциональна самому времени.

Рис. А.1. Функция в зависимости от

Следовательно, вероятность перехода дается выражением

Чтобы вычислить в явном виде, необходимо иайти величину До сих пор мы предполагали, что за переход ответственно взаимодействие между электрическим полем электромагнитной волны и электрическим дипольным моментом атома (электродипольное взаимодействие). Если — радиус-вектор совершающего переход электрона по отношению к ядру, заряд электрона (взятый со знаком), то классический дипольный момент атома будет равен Тогда классическая энергия взаимодействия Н дается выражением где Е — электрическое поле падающей электромагнитной волиы в точке, где находится электрон. Теперь, пользуясь известными правилами квантовой механики, нетрудно записать гамильтониан взаимодействия:

Подставляя это выражение в при получаем

Предположим далее, что длина электромагнитной волны много больше размеров атома. Это условие очень хорошо выполняется для излучения в видимом диапазоне (для зеленого света , в то время как размеры атома порядка . С учетом такого предположения в выражении величину Е можно вынести из-под интеграла и использовать ее значение в точке т. е. в центре ядра (электродипольное приближение). Таким образом, определим величину

Тогда из выражений получаем

где

Эта величина называется матричным элементом электрического дипольного момента. Если через обозначить угол между векторами то

здесь - модуль комплексного вектора Предположим, что электромагнитная волна взаимодействует с несколькими атомами, векторы которых ориентированы произвольным образом относительно вектора тогда среднее значение величины получается усреднением выражения по всем возможным значениям углов (в двух измерениях). Если все углы одинаково вероятны, то плотность вероятности не зависит от 0. В данном случае определяется таким образом, что есть элементарная вероятность для вектора оказаться внутри телесного угла составляющего с направлением вектора угол Известно, что если любой из углов равновероятен, то Следовательно,

Теперь подстановка этого выражения в дает

Если вместо функции в этом выражении использовать то оно преобразуется к (2.27).

Получив выражение для вероятности поглощения, перейдем теперь к расчету вероятности вынужденного излучения. Мы снова обратимся к уравнениям используя теперь другие начальные условия: Однако сразу можно заметить, что в данном случае необходимые соотношения получаются из соответствующих формул выведенных для случая поглощения, простой перестановкой индексов 1 и 2. Поскольку определения видно, что из выражения следует, что а это означает равенство вероятностей поглощения и вынужденного излучения.