8.3. Преобразование амплитуды: лазерное усиление

В этом разделе мы рассмотрим работу лазерного усилителя с помощью скоростных уравнений. Допустим, что плоская волна постоянной интенсивности падает (в точке ) на лазерный усилитель длиной вдоль оси Ограничимся рассмотрением случая, когда падающее излучение имеет вид импульса длительностью причем где — время жизни нижнего, время жизни верхнего уровня активной среды и — скорость накачки усилителя. Это, по-видимому, наиболее подходящий набор условий, необходимых для лазерного усиления. Он применяется, например, когда нужно усилить импульс излучения Nd: YAG-лазера в режиме модуляции добротности. Поэтому мы не будем здесь рассматривать случай непрерывного режима усиления (стационарного усиления), а читателю советуем обратиться к соответствующей литературе [7,8].

Рис. 8.3. К вычислению скорости изменения энергии фотонов в элементарном объеме (с единичной площадью сечения) лазерного усилителя.

Сделав эти допущения, населенность нижнего уровня в усилителе можно положить равной нулю, а накачкой и релаксацией населенности верхнего уровня во время действия импульса можно пренебречь. Тогда, используя выражение (2.82) (в котором мы полагаем скорость изменения инверсии населенностей в точке внутри усилителя можно записать в виде

где

— плотность энергии насыщения усилителя [см. (2.148в)]. Следует заметить, что в (8.23) мы имеем дело с частной производной, поскольку должна быть функцией двух аргументов: , вследствие того что Получим теперь дифференциальное уравнение, описывающее временное и пространственное изменение интенсивности I. Для этого сначала вычислим скорость изменения плотности энергии световой волны (где откуда Рассматривая полную скорость изменения энергии фотонов в малом объеме активной среды усилителя (рис. 8.3), можно написать следующее

соотношение:

где член соответствует вынужденным излучению и поглощению в усилителе, (-потерям в усилителе (например, потерям вследствие рассеяния) и полному потоку фотонов через объем. С помощью выражения (2.82) (полагая в нем получаем

Кроме того, из (2.82) и (2.86) следует, что

здесь — плотность соответствующих центров потерь, — вероятность поглощения и а — коэффициент поглощения в этих центрах. Для вычисления обратимся к рис. 8.3. Элементарный объем активного вещества усилителя длиной с единичным поперечным сечением представлен заштрихованной областью. Величина — это скорость изменения энергии фотонов в элементарном объеме, обусловленная разностью между интенсивностями излучения на входе и выходе лазера, т. е.

При этом из выражений (8.25) — (8.28) получаем следующее уравнение:

которое вместе с (8.23) полностью описывает усиление лазера. Следует заметить, что это уравнение имеет обычный вид нестационарного уравнения переноса. Заметим также, что в непрерывном режиме при оно сводится к уравнению (1.7).

Уравнения (8.23) и (8.29) должны теперь быть решены с соответствующими граничными и начальными условиями. За начальное условие мы берем где определяется накачкой усилителя до появления лазерного импульса. Очевидно, что граничное условие задается интенсивностью светового импульса, который поступает в усилитель, т. е. При незначительных потерях в усилителе (т. е. в случае пренебрежения членом решение уравнений (8.23)

и (8.29) можно записать в виде

где — коэффициент ненасыщенного усиления усилителя. Из уравнения (8.29) нетрудно получить также выражение для полной плотности энергии лазерного излучения:

Рис. 8.4. Зависимость плотности энергии Г на выходе от плотности энергии на входе лазерного усилителя при коэффициенте усиления малого сигнала . Плотность энергии нормирована на плотность энергии насыщения лазера

Интегрируя обе части уравнения (8.29) по времени от до и используя соотношение (8.23), получаем

Отсюда, снова пренебрегая потерями в усилителе, находим

здесь — ненасыщенное усиление усилителя, а — плотность энергии входного пучка. В качестве характерного примера на рис. 8.4 построена кривая зависимости отношения от при Заметим, что в случае выражение (8.33) можно записать приближенно в виде

т. е. выходная плотность энергии растет линейно с входной плотностью (режим линейного усиления). На рис. 8.4 построена также зависимость, описываемая выражением (8.34), в виде штриховой прямой, выходящей из начала координат. Однако из рисунка мы видим, что при больших входных плотностях величина Г увеличивается с ростом с более низкой скоростью, чем предсказывает выражение (8.34), т. е. происходит насыщение усилителя. При ., (режим насыщения) получаем

На рис. 8.4 построена также прямая, вычисленная по формуле (8.35) и представленная второй штриховой линией. Заметим, что при больших входных плотностях энергии выходная плотность энергии линейно зависит от длины усилителя. Поскольку каждый возбужденный атом испускает вынужденное излучение и, таким образом, вносит свой вклад в энергию пучка. Такое условие, очевидно, соответствует наиболее эффективному преобразованию запасенной энергии в энергию пучка; поэтому во всех тех случаях, в которых это практически осуществимо, используются конструкции усилителя, работающего в режиме насыщения.

Если усилитель имеет потери, то рассмотренная выше картина несколько изменяется. В частности, плотность выходной энергии теперь не увеличивается непрерывно с ростом входной (как на рис. 8.4), а достигает максимума и затем уменьшается. Это можно понять, если заметить, что выходная плотность как функция длины усилителя имеет тенденцию увеличиваться линейно за счет усиления [по крайней мере при больших входных плотностях энергии; см. (8.35)] и убывать экспоненциально за счет потерь [из-за члена в (8.32)]. Конкуренция этих двух величин дает максимальное значение выходной плотности энергии Г, которая в случае а записывается в виде

Однако, поскольку усилитель, как правило, имеет небольшие потери, максимальное значение плотности энергии, которое можно получить от усилителя, ограничивается другими явлениями. В действительности плотность энергии ограничивается значением Г при котором усилитель разрушается (в некоторых практических случаях Таким образом, из (8.35) получаем

Однако ненасыщенный коэффициент усиления нельзя делать слишком большим, поскольку иначе в усилителе могут возникнуть два таких нежелательных эффекта, как паразитная генерация и усиленное спонтанное излучение (УСИ). Паразитная генерация возникает, когда усилитель начинает генерировать вследствие обратной связи, которая до некоторой степени всегда существует (например, благодаря наличию отражения на торцах усилителя). Явление УСИ уже рассматривалось намн в разд. 2.7.3. Оба этих явления имеют тенденцию снимать имеющуюся инверсию и вследствие этого уменьшать усиление лазера. Чтобы свести к минимуму паразитную генерацию, не

следует использовать усилители большой длины. В идеальном случае усилитель должен иметь приблизительно одинаковые размеры во всех направлениях. Однако даже в этом случае паразитная генерация устанавливает верхний предел для произведения коэффициента усиления на длину усилителя т. е.

В практически реализуемых случаях величина имеет значения 3—5. В разд. 2.7.3 [выражение (2.153)] мы уже определили порог для УСИ. Если усилитель имеет форму куба (т. е. при ), то (или ), т. е. величину того же порядка, что и величина, определяемая паразитной генерацией. При меньших значениях телесного угла (что обычно имеет место) величина определяющая начало действия УСИ, увеличивается [выражение (2.153)]. Следовательно, достижение максимально возможного коэффициента усиления определяется, как правило, паразитной генерацией, а не УСИ. Учитывая ограничения, связанные как с разрушением усилителя так и с паразитной генерацией нетрудно получить выражение для максимальной энергии которую можно выделить из усилителя:

где — максимальный размер усилителя (в форме куба), определяемый формулой (8.38). Из выражения (8.39) следует, что увеличивается с уменьшением коэффициента усиления ае. Уменьшение величины в конечном счете ограничивается потерями усилителя а. Выбирая, например, из (8.39) получаем Однако при этом размер усилителя должен быть порядка что практически довольно трудно реализовать.

В данном разделе до сих пор нас интересовало главным образом изменение энергии лазерного импульса при его прохождении через усилитель. Однако в режиме насыщения существенные изменения претерпевают также временное и пространственное распределения входного пучка. Пространственные искажения нетрудно объяснить с помощью рис. 8.4. В случае когда профиль интенсивности входного пучка в поперечном сечении имеет колоколообразную форму (например, гауссов пучок), центральная область пучка вследствие насыщения будет усиливаться меньше, чем периферическая. Таким образом, по мере того как пучок проходит через усилитель, ширина его пространственного

распределения в поперечном сечении увеличивается. Совсем нетрудно показать, почему пучок испытывает и временные искажения. Вынужденное излучение, вызванное передним фронтом импульса, приводит к тому, что к моменту появления заднего фронта импульса из усилителя была уже извлечена некоторая часть запасенной энергии. Таким образом, когда задний фронт импульса проходит через усилитель, инверсия населенностей в усилителе оказывается пониженной и, следовательно, пучок испытывает меньшее усиление. Вследствие этого в задний фронт импульса вкладывается меньше энергии, чем в передний, что ведет к довольно заметному изменению формы импульса. Форму выходного импульса можно вычислить из выражения (8.30), откуда можно показать, что в зависимости от формы входного импульса выходной импульс может либо расшириться, либо сузиться (или даже остаться неизменным) [6].

В заключение этого раздела мы кратко ознакомимся с двумя другими примерами лазерного усиления в условиях, отличающихся от рассмотренных выше. В первом случае предполагают, что длительность импульса, который необходимо усилить, много меньше времени жизни атомов на нижнем энергетическом уровне лазера. Это имеет место, например, в случае лазерного усилителя на рубине, в котором нижний уровень совпадает с основным состоянием. Аналогичная ситуация возникает также в усилителе на ионах когда не. В обоих случаях усилитель работает по трехуровневой схеме. Нетрудно показать, что приведенные выше формулы остаются справедливыми, но при условии, что дается теперь выражением

Ко второму случаю (мы его кратко обсудим) относится усилитель, в котором как верхний, так и нижний уровни состоят из множества сильно связанных между собой подуровней. Это имеет место, например, в усилителях на или в которых верхние и нижние (колебательные) уровни состоят из многих вращательных подуровней (см., например, рис. 6.16). Если длительность импульса много больше, чем время релаксации между вращательными подуровнями, то между ними будет поддерживаться равновесное тепловое распределение населенностей. При этом населенность вращательного подуровня, принадлежащего данному колебательному уровню, может быть представлена как доля суммарной населенности колебательного

уровня (см. разд. 2.8), причем величину (статистическая сумма) можно вычислить, используя статистику Больцмана. Кроме того, предположим, что длительность импульса значительно меньше времени релаксации нижнего уровня лазера (т. е. система фактически ведет себя как трехуровневая) и что длина волны входящего светового импульса соответствует только одной вращательно-колебательной линии. В этом случае будут справедливы все полученные выше выражения, но при условии, что [8]

где — сечение вынужденного излучения того вращательно-колебательного перехода, на котором происходит процесс усиления.. Сравнивая выражения (8.396) и (8.39а), мы видим, что эффективное сечение можно определить как [см. также выражения (2.170а) и (2.170б)]. В случае когда длительность импульса оказывается сравнимой с временем вращательной релаксации, картина становится намного более запутанной и вычисления с помощью соответствующих уравнений требуют, вообще говоря, применения ЭВМ [8].