7.5.2. Измерение пространственной и временной когерентностей

Весьма простым способом измерения степени пространственной когерентности между двумя точками световой волны является метод, в котором используется интерферометр Юнга (рис. 7.3). Этот интерферометр состоит из экрана 1, в котором имеются отверстия соответственно в точках и экрана 2,

в котором свет, прошедший через оба этих отверстия, создает интерференционную картину. Точнее говоря, интерференция в точке Р в момент времени возникнет в результате суперпозиции волн, испущенных из точек соответственно в моменты времени Следовательно, интерференционные полосы, наблюдаемые на экране 2 в окрестности точки Р, будут тем отчетливее, чем лучше корреляция между двумя аналитическими сигналами световой волны где — координаты точек Заметим, что время интегрирования Т в выражении для корреляционной функции [см. (7.13)] теперь равно времени регистрации полос (например, времени экспозиции фотопластинки). Если теперь точку Р на экране выбрать таким образом, чтобы то видность полос в окрестности точки Р будет мерой степени пространственной когерентности между точками Чтобы быть более точными, определим видность полос в точке Р следующим образом:

здесь — максимальная интенсивность светлой полосы, а — минимальная интенсивность темной полосы в окрестности точки Р. Если оба отверстия 1 и 2 дают одну и ту же освещенность в точке Р и если волна обладает полной пространственной когерентностью, то , следовательно, видность полос . В случае когда сигналы в точках полностью некоррелированы (т. е. некогерентны), полосы исчезают (т. е. имеем , таким образом, видность полос . В соответствии со сказанным в разд. 7.5.1 становится очевидным, что величина должна быть связана с модулем функции . В более общем случае для любой точки Р на экране мы ожидаем, что величина связана с модулем функции где . В конце этого раздела мы действительно убедимся в том, что если два отверстия дают одну и ту же освещенность в точке Р, то

Таким образом, измерение видности интерференционных полос в точке Р, такой, что позволяет получить степень пространственной когерентности между точками

Рис. 7.3. Применение интерферометра Юпга для измерения степени пространственной когерентности электромагнитной волны между точками

Интерферометр Майкельсона (рис. 7.4) дает очень простой метод измерения временной когерентности. Пусть в некоторой точке Р требуется измерить временную когерентность волны. Оптическая система, состоящая из экрана с небольшим отверстием в точке Р и линзы, главный фокус которой совпадает с точкой Р, позволяет преобразовать падающую волну в плоскую (см. также рис. 7.9).

Рис. 7.4. а — интерферометр Майкельсоиа для измерения степени временной когерентности электромагнитной волны в точке Р; б — зависимость интенсивности света, выходящего в направлении распространения волмы С, от разности между длинами плеч интерферометра.

Эта волна затем падает на частично отражающее зеркало (с коэффициентом отражения R = 50 %), которое расщепляет ее на две волны А и В. Эти волны отражаются назад зеркалами и затем складываются, образуя волну С. Поскольку волны А и В интерферируют, освещенность в направлении распространения волны С будет либо больше, либо меньше в зависимости от того, четному или нечетному числу полуволн равна величина Очевидно, такая интерференция будет наблюдаться только до тех пор, пока разность не станет настолько большой, что два пучка А и В окажутся некоррелированными по фазе. Таким образом, для частично когерентной волны зависимость интенсивности волны С от величины имеет вид, показанный

на рис. 7.4, б. В этом случае мы можем снова определить видность интерференционных полос с помощью выражения (7.20) для некоторого данного значения разности между длинами плеч интерферометра, т. е. для данного значения задержки между двумя отраженными волнами, причем значения определяются в соответствии с рис. 7.4, б. Точно так же, как и в случае интерферометра Юнга, можно показать, что

где — координата точки Р. Следовательно, теперь измерение видности интерференционных полос позволяет получить степень временной когерентности волны в точке Р. Если функция известна, то можно найти время когерентности , следовательно, длину когерентности Заметим, что величина равна удвоенной разности между длинами плеч интерферометра, при которой значение видности спадает до значения

Мы закончим этот раздел доказательством соотношения (7.21), что также может послужить в качестве упражнения на применение аналитического сигнала. Аналогичные соображения можно применить и для доказательства соотношения (7.22). Обозначим через аналитический сигнал в точке Р, показанной на рис. 7.3, в момент времени Поскольку он обусловлен суперпозицией сигналов, пришедших из каждого отверстия (см. рис. 7.3), его можно записать в виде

где Множители обратно пропорциональны расстояниям , кроме того, зависят от размеров отверстий и угла между падающей волной и волной, дифрагированной на отверстиях Поскольку дифрагированные вторичные волны отстают по фазе на четверть периода относительно падающей волны [3, с. 370—375] (см. также обсуждение волн Гюйгенса в разд. 4.4.2), отсюда следует, что

Если теперь определить величины выражение (7.23) можно записать в виде

Таким образом, интенсивность в точке Р дается выражением

где интенсивности в точке Р, первая из которых обусловлена излучением только из точки а вторая — излучением только из точки Эти интенсивности записываются следующим образом:

здесь — интенсивности соответственно в точках Усредняя обе части выражения (7.26) по времени и используя (7.16а), находим

Здесь мы использовали также выражения (7.24). Выражение (7.28) можно записать через комплексную степень когерентности если заметить, что из соотношения (7.17) следует

Подставляя это выражение в предыдущие и используя (7.27), получаем

где мы использовали также соотношение (7.18). Поскольку как так и являются медленноменяющимися функциями, изменение интенсивности в зависимости от положения точки Р определяется быстрым изменением члена, содержащего косинус с аргументом . Таким образом, в окрестности точки Р мы имеем

и, следовательно, из выражения (7.17) получаем

В случае когда выражение (7.32) сводится к (7.21).