ПРИЛОЖЕНИЕ В. Теория активной синхронизации мод для однородно уширенной линии

В разд. 5.4.5 мы видели, что в режиме синхронизации мод генерируется единственный ультракороткий световой импульс, который распространяется вперед и назад по резонатору лазера. Согласно тому, что уже говорилось в разд. 5.4.5.1, теорию синхронизации мод в непрерывном режиме можно построить во времеиибм представлении, если потребовать, чтобы импульс воспроизводил сам себя после каждого полного прохода резонатора. Мы ограничимся здесь тем, что обсудим случай однородно уширенной линии, поскольку при этом задача допускает простое и элегантное решение [1].

Рис. В.1. Экспериментальное устройство, рассматриваемое при теоретическом анализе активной синхронизации мод.

Рассмотрим лазер в конфигурации, представленной на рис. и будем считать, что электрическое поле светового импульса перед входом в усилитель можно описать обобщенной гауссовой функцией, т. е. [см. также (5.118)]

где — несущая частота, а описывают временную зависимость соответственно амплитуды и фазы поля. Точнее говоря, ширина (на половине максимума) иитеисивиости импульса равна

в то время как частота имиульса (линейно возрастающая со временем) равна . Предположим также, что ширина импульса много меньше где — длина активной среды, так что при распространении через активную среду импульс не перекрывается со своим собственным отражением от зеркала 1. Заметим, что выражение можно записать в более удобном виде:

где мы ввели величину

называемую комплексным параметром гауссова импульса. В дальнейшем анализе мы будем считать, что при распространении через активную среду и модулятор импульс сохраняет обобщенную гауссову форму Поэтому нам придется делать некоторые упрощающие предположения, гарантирующие выполнение этого условия.

Сделав предварительные замечания, перейдем теперь к рассмотрению АМ-синхронизации мод. Пусть -усиление по амплитуде (т. е. по электрическому полю) за один проход в активной среде в условиях насыщения. Предполагая, что время релаксации верхнего уровня много больше времени полного прохода резонатора, можно показать [2], что

где — длина активной среды, — насыщенное усиление по мощности за одни проход на центральной частоте перехода а — ширина (на половине максимума) лазерной линии. Заметим, что, согласно выражению усиление по мощности равно

где усиление определяется выражением

т.е. имеет лоренцеву форму, как и ожидалось для однородно уширенной линии. Поскольку временная зависимость электрического поля импульса является гауссовой функцией, ее фурье-образ является также гауссовой функцией и имеет вид

После прохождения через активную среду фурье-образ станет равным Чтобы эта функция оставалась гауссовой, мы потребуем, чтобы имела гауссову форму. Для этого разложим выражение, стоящее в качестве аргумента второй экспоненты в в ряд по степеням Это дает

Мнимые члены в первой экспоненте соответствуют фазовому члену который определяет временную задержку, испытываемую импульсом после прохождения через активную среду (благодаря конечной групповой скорости импульса; см. разд. 8.5), в следующем виде:

Заметим, что эта задержка не равна так как линия усиления вносит дополнительный вклад в показатель преломления среды. Этот вклад необходимо учитывать при выполнении условия, чтобы время полного прохода импульса было равно периоду модуляции потерь. Для простоты мы в дальнейшем не будем рассматривать эффект этой задержки. Поэтому пренебрежем фазовым членом в выражении и запишем

Мы также не будем учитывать тот факт, что отражающая способность зеркала 1 имеет конечное значение, так как это обстоятельство будет учтено

в общих потерях резонатора. Пройдя второй раз через активную среду, импульс еще раз усилится в раз, причем определяется выражением Тогда электрическое поле после полного прохода лазерной среды запишется в виде

где, согласно таково, что

Соответствующее электрическое поле во временном представлении молшо найти путем преобразования Фурье выражения Отсюда получаем выражение

которое вновь является гауссовой функцией.

Необходимо заметить, что приближенные выражения справедливы в том случае, если спектральная ширина светового импульса много меньше ширины линии усиления. Следовательно, последующий анализ справедлив лишь при выполнении неравенства

В этом же приближении изменение ширины импульса после его прохождения через активную среду очень мало. Поэтому Г и Г и выражение можно приближенно записать в виде

В том же самом приближении выражение можно записать следующим образом:

Заметим, что из следует где обозначает вещественную часть. Теперь из выражений видно, что после прохождения через усилитель импульс уширяется.

Рассмотрим теперь прохождение импульса через модулятор. Будем считать, что модулятор располагается на минимально возможном расстоянии от зеркала 2 и что его длина много меньше длины импульса Пренебрегая конечной отражающей способностью зеркала 2, рассмотрим эффект, который производит двойное прохождение импульса через модулятор. Обозначая потери за двойной проход через модулятор как мы можем записать

где — максимальные потери в модуляторе, а — частота модуляции, которая предполагается такой, чтобы период модуляции равнялся времени полного прохода световым импульсом лазерного резонатора. При небольших потерях пропускание модулятора можно записать в виде

В разд. 5.4.5.1 было показано, что импульс проходит через модулятор тогда, когда потери равны нулю (т. е. при Поскольку мы считаем, что ширина импульса много меньше также и времени полного прохода

резонатора (т. е. ), то можно приближенно записать в виде

т.е. в виде гауссовой функции. После прохождения через модулятор импульс дается выражением

Тогда из выражений находим

здесь

Заметим, что, поскольку импульс при проходе через модулятор сужается.

Чтобы учесть постоянные потери в резонаторе, связанные с конечными отражающими способностями зеркал и с внутренними потерями, запишем импульс после одного полного прохода в виде

где у — логарифмические потери мощности за одни проход, определяемые выражением (5.8). Теперь наложим условие самосогласованностн Из выражений сразу получаем

Из второго условия с помощью находим

Отсюда мы видим, что уширение импульса в усилителе должно уравновешиваться сужением импульса в модуляторе. Выражение показывает также, что Г в этом случае является вещественной величиной, так что в соответствии с имеем

Выражения вместе дают полное решение рассматриваемой задачи. Заметим, что соотношение означает, в приближении , равенство порога генерации в режиме синхронизации мод насыщенному усилению в непрерывном режиме которое равно потерям в резонаторе. Заметим также, что в соответствии с импульс не имеет частотного сдвига. Выражение вместе с определяет длительность импульса. Полагая находим:

Мы видим, что первый множитель в правой части этого выражения приблизительно равен 0,45. Второй множитель вследствие показателя степени 1/4 приблизительно равен единице. Тогда из мы получаем

Случай ЧМ-синхронизации мод рассматривается аналогично. Предположим снова, что электрическое поле импульса и усиление по амплитуде определяются соответственно выражениями Модулятор же вносит теперь переменный фазовый сдвиг . В случае синусоидальной модуляции можно написать, что

В этом случае самосогласованное решение получается, только если импульс проходит через модулятор в тот момент времени, когда фазовый сдвиг достигает либо максимума, либо минимума (т. е. когда стационарен). Поэтому будем считать, что импульс проходит через модулятор в момент времени Тогда пропускание модулятора можно записать в следующем виде:

где Поскольку имеет вид гауссовой функции, импульс после прохождения через модулятор будет опять определяться выражением в котором теперь

Используя с тем же условием для данного случая находим

Сравнение показывает, что при одинаковых значениях т. е. при одних и тех же значениях и [согласно одинаковых потерях в резонаторе у, величина а, а следовательно, и ширина импульса являются одними и теми же для случаев и ЧМ-синхронизации мод. Однако в последнем случае, поскольку величина не равна нулю, частота импульса имеет линейный сдвиг.

Литература

(см. скан)