8.4.2.1. Параметрическая генерация

Рассмотрим теперь три волны с частотами (причем взаимодействующие в кристалле. Общее поле этих волн можно записать в виде следующей суммы:

где каждое из полей определяется выражением (8.66а). Подставляя (8.68) в соотношение (8.41) и используя (8.66а), получаем выражение для компонент [аналогичное выражению (8.66б)] нелинейной поляризации на различных частотах Выполнив утомительные, но несложные алгебраические

преобразования, находим, что, например, компонента На частоте дается выражением

Компоненты нелинейной поляризации на частотах вычисляются аналогичным образом. Подставляя в уравнение (8.67) компоненты величины рнелнн, соответствующие трем частотам, получаем следующие три уравнения:

Это основные уравнения, описывающие нелинейное параметрическое взаимодействие. Заметим, что они связаны между собой посредством нелинейного коэффициента

На данном этапе удобно определить новую полевую переменную

Поскольку интенсивность волны равна соответствующий поток фотонов можно записать в виде Таким образом, величина пропорциональна потоку фотонов на частоте причем коэффициент пропорциональности не зависит от . В этих новых полевых переменных уравнения (8.70) принимают вид

где мы положили и

Преимущество использования вместо Е очевидно, поскольку в противоположность уравнениям, (8.70) в уравнения (8.72) входит единственный параметр связи к.

Пренебрегая потерями (т. е. полагая умножая обе части уравнения (8.72а) на а обе части уравнения (8.726) на А и сравнивая полученные выражения, приходим к следующему соотношению: Выполняя аналогичные преобразования уравнений (8.72б) и (8.72в), получаем Следовательно, можно написать следующие равенства:

которые называются соотношениями Мэнли — Поскольку величина пропорциональна соответствующему потоку фотонов, из этих соотношений следует, что всякий раз, когда уничтожается фотон с частотой образуются фотоны с частотами Это согласуется с фотонной моделью параметрического процесса, обсуждавшейся в разд. 8.4.1.2. Следует заметить, что из соотношений (8.74) вытекает, например, следующее равенство: где — мощности соответствующих волн. Таким образом, в излучение с частотой может быть преобразована лишь часть мощности излучения с частотой

Строго говоря, уравнения (8.72) справедливы в случае «бегущей» волны, когда в кристалле произвольной длины распространяются три волны с частотами Покажем теперь, каким образом эти уравнения можно применить к случаю оптического параметрического генератора, схематически показанного на рис. 8.8. Рассмотрим сначала этот генератор, работающий по схеме двойного резонатора. В этой схеме внутри резонатора в прямом и обратном направлениях распространяются две волны с частотами Параметрический процесс имеет место здесь только тогда, когда направления распространения этих волн и волны накачки совпадают (поскольку лишь при данных обстоятельствах удовлетворяется условие фазового синхронизма). Если «развернуть» оптический путь волны в резонаторе так, как показано на рис. 8.9, а, то из рисунка очевидно, что волны испытывают потери на любом участке пути, в то время как параметрическое усиление имеет место лишь на одном из двух отрезков пути. Эту ситуацию можно эквивалентно представить в виде схемы, приведенной на рис. 8.9, б, если соответствующим образом определить коэффициент эффективных потерь Потери, определяемые на рис. 8.9, б длиной

кристалла I, на самом деле должны быть равны потерям при двойном проходе резонатора, как показано на рис. 8.9, а. Последние представляют реальные потери в кристалле, а также потери, обусловленные дифракцией и отражением на зеркалах. Следовательно, входящие в уравнения (8.72) коэффициенты должны быть определены таким образом, чтобы они учитывали эти различные потери. Из (8.72), пренебрегая параметрическим взаимодействием (т. е. полагая мы видим, что после прохождения пути равного длине кристалла, мощность излучения на частоте уменьшается до доли мощности излучения на входе в кристалл.

При этом мы должны учитывать потери, которые испытывает излучение при двойном проходе резонатора. Таким образом, мы имеем следующее выражение:

где — коэффициенты отражения соответствующих зеркал, потери в кристалле (с учетом дифракционных потерь) за один проход излучения с частотой через резонатор. Определим теперь следующие величины При этом выражение (8.74а) принимает вид

где — общие потери в резонаторе за один проход. Заметим, что это равносильно замене потерь, обусловленных отражением от зеркал, потерями, распределенными по кристаллу, и последующему включению их в эффективный коэффициент поглощения кристалла. Величина же учитывает лишь потери внутри кристалла, которыми, вообще говоря, можно пренебречь. Таким образом, на этом этапе мы можем утверждать, что в случае двухрезонаторной параметрической генерации уравнения (8.72) все еще справедливы при условии, что

Рис. 8.9. а — «развертка» оптического пути в резонаторе оптического параметрического генератора; — приведение оптического пути при двойном проходе в резонаторе, показанного на рис. а, к одному проходу, причем потери на зеркалах включены в распределение потерь в кристалле.

определяются выражением (8.75). Чтобы получить пороговое условие параметрической генерации в двухрезонаторной схеме, приведем уравнения (8.72) к более простому виду. Для этого предположим, что можно пренебречь «истощением» волны накачки за счет параметрического процесса. Используя это предположение, а также предположение о том, что мы можем положить где амплитуда падающей волны накачки, которая считается вещественной. Если предположить затем, что (идеальный фазовый синхронизм), то уравнения (8.72) принимают существенно более простой вид:

где

Теперь нетрудно получить пороговое условие параметрической генерации при двойном резонансе. Для этого в уравнениях (8.76) положим . В результате получим следующую систему однородных уравнений:

где в последнем уравнении левая часть является комплексносопряженной относительно правой части уравнения (8.766). При решении этой однородной системы уравнений ненулевые значения имеют место лишь при условии, что

Последнее выражение мы записали с помощью соотношения (8.75). Из (8.77) мы видим, что пропорциональна величине т. е. интенсивности волны накачки. Таким образом, условие (8.79) означает, что для возбуждения параметрической генерации необходима определенная пороговая интенсивность волны накачки. Эта интенсивность пропорциональна произведению потерь (по мощности) двух волн с частотами за один проход в резонаторе и обратно пропорциональна величинам и .

Случай однорезонаторной параметрической генерации является несколько более сложным. Если лазерный резонатор настроен лишь на частоту то можно опять представить в виде (8.75). Поскольку волна на частоте не отражается обратно в резонатор, будет включать в себя только потери в кристалле, и, следовательно, эту величину можно не учитывать. Пренебрегая «истощением» волны накачки и предполагая, что

фазовый синхронизм является идеальным, уравнения (8.76) можно применить по-прежнему, но при условии, что . В случае когда параметрическое преобразование невелико, в правой части уравнения (8.766) можно положить . Таким образом, имеем следующее выражение:

при получении которого мы предположили, что (т. е. из резонатора в кристалл волна на частоте обратно не поступает). Нели в (8.76а) подставить выражение (8.80) и в правой части уравнения (8.76а) положить то мы получим

Интегрирование этого уравнения дает следующее выражение для амплитуды волны на частоте после того как она пройдет длину кристалла:

Пороговое условие достигается тогда, когда т. е. когда

Поскольку величина пропорциональна интенсивности волны накачки, сравнение выражений (8.83) и (8.79) дает отношение пороговых значений интенсивности накачки:

(здесь индексы ОРГ — однорезонансная генерация, ДРГ — двухрезонансная генерация). Если выбрать потери за проход равными, скажем, то из (8.84) находим, что пороговая мощность для однорезонансной генерации должна быть в 100 раз больше, чем для двухрезонансной.