2.4. Спонтанное излучение

Целью настоящего раздела является вычисление вероятности спонтанного излучения А, определяемой выражением (1.2). К сожалению, полуклассическое рассмотрение взаимодействия излучения с веществом не позволяет, как будет показано ниже, адекватно предсказать и понять явление спонтанного излучения. Тем не менее для начала полезно рассмотреть это явление с позиций полуклассического подхода. Полученные результаты затем будут сопоставлены с результатами точного квантовоэлектродинамического анализа, в котором квантуются как атом, так и излучение.

2.4.1. Полуклассический подход

Прежде всего рассмотрим с чисто классической точки зрения электрический диполь, колеблющийся с частотой Если считать положительный заряд неподвижным, то в системе координат положительного заряда мгновенное положение отрицательного заряда можно записать в виде

где обозначает действительную часть, а Из уравнений Максвелла следует, что движущийся с ускорением электрический заряд излучает электромагнитную волну, мощность которой пропорциональна квадрату ускорения. Таким образом, можно показать [4], что колеблющийся электрон излучает в окружающее пространство мощность которая дается выражением

где — амплитудное значение электрического дипольного момента, — показатель преломления среды, а Со — скорость света в вакууме. Среднее значение полной энергии колеблющегося электрона определяется суммой средних значений кинетической и потенциальной энергий. Поскольку, как известно, эти значения равны друг другу, . Следовательно,

здесь — масса электрона, а — средний квадрат скорости. За время осциллятор будет терять энергию, равную Таким образом, используя выражения (2.90) и (2.91), можно написать

где

Вследствие дипольного излучения амплитуда колебаний, а следовательно, и будут со временем уменьшаться. Однако, поскольку величина не зависит от она будет оставаться постоянной. В этом случае из уравнения (2.92) следует, что

энергия Е будет экспоненциально уменьшаться с постоянной времени Поэтому с классической точки зрения эта величина называется временем жизни колеблющегося диполя.

Вернемся теперь к рассматриваемой нами задаче двухуровневой атомной системы. При спонтанном излучении атом испытывает переход и для описания волновой функции атома можно снова применить выражение (2.29). Следовательно, приобретаемый атомом дипольный момент М описывается все тем же выражением (2.32). В действительности для состояний определенной четности первые два члена в выражении (2.32) равны нулю, поскольку как так и — четные функции координаты В любом случае эти два члена не зависят от времени. Если для простоты рассмотреть состояния с определенной четностью, то выражение (2.32) упрощается, и мы приходим к выражению (2.33), т. е.

По аналогии с рассмотренным выше случаем классического осциллятора мы ожидаем, что именно этот осциллирующий с частотой член ответствен за излучение энергии в окружающее пространство и, следовательно, описывает процесс спонтанного излучения. При этом с помощью простого условия сохранения энергии можно вычислить скорость изменения величины в единицу времени, т. е.

где мощность излучения Р, можно найти из соотношения (2.90), если учесть, что в соответствии с Тогда уравнение (2.95) можно переписать в виде

где мы использовали соотношение (2.30) и определили характерное время как

которое называется спонтанным (излучательным) временем жизни уровня 2. Решение уравнения (2.96) имеет вид

где определяется начальными условиями, т. е. значением Действительно, из (2.98) видно, что

откуда для данного значения (при условии, что оно меньше единицы) однозначно вычисляется . В качестве примера на рис. 2.11 показана временная зависимость величины при начальном условии

Рис. 2.11. Временная зависимость вероятности населенности верхнего состояния и нормированной мощности излучения от времени. Сплошные кривые — полуклассическая теория; штриховая кривая — квантовая электродинамика.

Заметьте, что выбор различных значений просто изменяет значение в выражении (2.98), т. е. сдвигает начало временной оси. На этом же рисунке приведено также изменение со временем нормированной мощности излучения Для дальнейшего рассмотрения существенно, что временное поведение можно аппроксимировать экспоненциальной зависимостью вида

только тогда, когда . В этом случае действительно в (2.96) можно положить и сразу получить выражение (2.100).

Наиболее важным является случай, когда При этом из (2.99) мы находим, что т. е. в соответствии с полуклассической теорией атом релаксировать не

должен. Действительно, если то и из (2.96) следует, что Можно взглянуть на этот случай с другой стороны, обратив внимание на то, что момент М в выражении (2.91) исчезает при Поскольку теперь атом не имеет осциллирующего дипольного момента, он не может излучать и поэтому пребывает в состоянии равновесия. Выясним, насколько устойчивым является это состояние равновесия. Для этого представим себе, что атом возмущен, т. е. при Физически это означает, что благодаря такому возмущению существует конечная вероятность обнаружить атом на уровне 1. Теперь из уравнения (2.94) видно, что возникает дипольный момент, осциллирующий на частоте Этот дипольный момент будет излучать энергию в окружающее пространство, и атом начнет релаксировать на уровень 1. Это приводит к уменьшению и атом отодвигается все дальше от положения равновесия. Таким образом, рассматриваемое состояние атома является неустойчивым.

Прежде чем продолжить рассмотрение, подытожим основные результаты, полученные в рамках полуклассического подхода: 1) в общем случае временное поведение вероятности можно описать через гиперболический тангенс [см. (2.98)], но эта зависимость в случае очень слабого возмущения, т. е. когда может быть аппроксимирована экспонентой [уравнение если атом первоначально находится на верхнем уровне [т. е. ], то имеет место состояние неустойчивого равновесия и никакого излучения не происходит.