4. Пассивные оптические резонаторы

4.1. Введение

Данная глава посвящена теории пассивных оптических резонаторов. Под пассивным оптическим резонатором мы понимаем замкнутую полость, состоящую из отражающих поверхностей и содержащую внутри себя однородную, изотропную и пассивную диэлектрическую среду. Напомним, что мода резонатора была определена в разд. 2.2 как стационарная конфигурация электромагнитного поля, которая удовлетворяет как уравнениям Максвелла, так и граничным условиям. При этом электрическое поле такой конфигурации можно записать в виде

где — частота моды.

В отличие от резонаторов, применяемых в устройствах СВЧ-диапазона, лазерные резонаторы характеризуются следующими двумя главными особенностями: 1) они, как правило, являются открытыми, т. е. не имеют боковой поверхности, и 2) их размеры намного превышают длину волны лазерной генерации. Поскольку длина волны лазера простирается от долей микрометра до нескольких десятков микрометров, лазерный резонатор с размерами, сравнимыми с этими длинами волн, имел бы слишком низкий коэффициент усиления, чтобы могла возникнуть лазерная генерация. Упомянутые выше две особенности оптического резонатора оказывают значительное влияние на его характеристики. Например, то, что резонатор является открытым, приводит к неизбежным потерям для любой моды резонатора. Эти потери обусловлены дифракцией электромагнитного поля, вследствие чего часть энергии покидает резонатор. Поэтому такие потери называются дифракционными. Таким образом, строго говоря, определение моды в смысле (4.1) нельзя применить к открытому оптическому резонатору, и в таком резонаторе не существует истинных мод (т. е. стационарных конфигураций). Однако в дальнейшем мы увидим, что в открытых резонаторах в действительности существуют конфигурации типа стоячих электромагнитных волн, имеющие очень небольшие потери. Поэтому мы будем определять моду (иногда

ее называют квазимодой) как такую конфигурацию электромагнитного поля, для которой напряженность электрического поля можно написать в виде

Здесь — время жизни фотона в резонаторе (время релаксации квадрата амплитуды электрического поля). Из указанного выше второго свойства оптического резонатора следует, как мы увидим в дальнейшем, что в оптическом резонаторе резонансные частоты расположены очень близко друг к другу. Действительно, в соответствии с выражением (2.14) число мод резонатора расположенных в пределах полосы лазерной линии шириной равно где — ширина лазерной линии, выраженная в единицах длины волны. Из приведенного выражения видно, что пропорционально отношению объема резонатора V к кубу длины волны. Так, например, если Гц (частота, соответствующая середине видимого диапазона), Гц [доплеровская ширина линии на длине волны 0,6328 мкм; см. выражение (2.81)], то число мод Если бы резонатор был закрытым, то все моды имели бы одинаковые потери и такой резонатор в случае его применения в лазере приводил бы к генерации очень большого числа мод. При этом лазер излучал бы в широком спектральном диапазоне и во всех направлениях, что является весьма нежелательным. Эта проблема может быть решена с помощью открытого резонатора. В таком резонаторе лишь очень немногие моды, соответствующие суперпозиции распространяющихся почти параллельно оси резонатора волн, будут иметь достаточно низкие потери, чтобы стала возможной генерация. Все остальные моды резонатора соответствуют волнам, которые почти полностью затухают после одного прохождения через резонатор. Это главная причина, почему в лазерах применяется открытый резонатор. Хотя отсутствие боковых поверхностей означает, что может возбуждаться лишь очень небольшое число мод, все же число генерируемых мод, как мы покажем ниже, может быть значительно больше, чем одна.

Наиболее широко применяемые лазерные резонаторы имеют либо плоские, либо сферические зеркала прямоугольной (чаще круглой) формы, расположенные на некотором расстоянии друг от друга. Величина обычно составляет от нескольких

сантиметров до нескольких десятков сантиметров, а размеры зеркал лежат в пределах от долей сантиметра до нескольких сантиметров. Из различных возможных типов резонаторов обратим особое внимание на следующие:

а) Плоскопараллельный резонатор (или резонатор Фабри — Перо) (рис. 4.1). Этот резонатор состоит из двух плоских зеркал, расположенных параллельно друг другу. В первом приближении моды такого резонатора можно представить себе как суперпозицию двух плоских электромагнитных волн, распространяющихся в противоположных направлениях вдоль оси резонатора, как схематически показано на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Плоскопараллельный резонатор.

Рис. 4.2. Концентрический (сферический) резонатор.

В рамках этого приближения нетрудно получить резонансные частоты, если наложить условие, что длина резонатора должна быть равна целому числу полуволн, т. е. где — положительное целое число. Такое условие является необходимым для того, чтобы на обоих зеркалах электрическое поле электромагнитной стоячей волны было равно нулю. Отсюда следует, что резонансные частоты определяются следующим образом:

Интересно заметить, что такое же самое выражение можно получить, если наложить условие, чтобы набег фазы плоской волны после полного прохода (в прямом и обратном направлении) через резонатор был бы равен целому числу, умноженному на Это условие нетрудно получить из соображений самосогласованности. Если частота плоской волны равна частоте моды резонатора, то набег фазы волны при полном проходе резонатора должен быть равен нулю (без учета целого, кратного поскольку только в этом случае благодаря последовательным отражениям амплитуды волн в любой произвольной точке будут складываться в фазе и давать значительное суммарное поле.

б) Концентрический (или сферический) резонатор (рис. 4.2). Этот резонатор состоит из двух сферических зеркал, имеющих

одинаковые радиусы и расположенных на расстоянии друг от друга таким образом, что центры кривизны зеркал совпадают (т. е. ). На рис. 4.2 показан также геометрический ход лучей в данном резонаторе. В этом случае моды резонатора представляют собой приближенно суперпозицию двух сферических волн, исходящих из точки С и распространяющихся в противоположных направлениях. Применяя упомянутое выше соображение самосогласованности, мы опять приходим к выражению (4.3) для резонансных частот.

в) Конфокальный резонатор (рис. 4.3). Он состоит из двух сферических зеркал с одинаковыми радиусами кривизны которые расположены на расстоянии друг от друга таким образом, что фокусы зеркал совпадают. Отсюда следует, что центр кривизны С одного зеркала лежит на поверхности второго зеркала (т. е. ).

С помощью геометрической оптики изменяя расстояние от двух параллельных лучей до оси резонатора можно нарисовать сколько угодно замкнутых оптических траекторий типа той, что показана на рис. 4.3. Заметим также, что лучи на рис. 4.3 можно обратить на противоположные. Однако такое геометрическое описание не дает и намека на то, какую конфигурацию будет иметь мода, и мы на самом деле увидим, что такая конфигурация не может быть описана ни плоской, ни сферической волной. Поэтому и резонансные частоты тоже нельзя получить непосредственно из соображений геометрической оптики.

Рис. 4.3. Конфокальный резонатор.

г) Резонаторы, состоящие из плоского и сферического зеркал. Примеры этих резонаторов показаны на рис. 4.4 (полуконфо-кальный резонатор) и на рис. 4.5 (полусферический резонатор). На этих же рисунках показаны и замкнутые траектории лучей, полученные в соответствии с геометрической оптикой. Заметим, что на рис. 4.4 направление любого луча меняется на противоположное после каждых четырех проходов.

Часто также используются резонаторы, образованные двумя сферическими зеркалами с одинаковыми радиусами кривизны и с расстоянием между ними таким, что (т. е. эти резонаторы занимают промежуточное положение между конфокальным и концентрическим резонаторами). Кроме того, можно построить резонатор, у которого Для этих случаев не всегда можно выполнить построение лучей,

при котором лучи повторяют свой путь после одного или нескольких проходов резонатора.

Все эти резонаторы можно рассматривать как частные примеры более общего случая резонатора, образованного двумя сферическими зеркалами, имеющими различные радиусы кривизны (либо положительные, либо отрицательные) и расположенными на некотором произвольном расстоянии друг от друга.

Рис. 4.4. Полукопфокальный резонатор.

Рис. 4.5. Полусферический резонатор.

Эти резонаторы можно подразделить на две категории, а именно на устойчивые и неустойчивые. Резонатор называется неустойчивым, когда произвольный луч, последовательно отражаясь от каждого из двух зеркал, удаляется на неограниченно большое расстояние от оси резонатора. Очевидный пример неустойчивого резонатора приведен на рис. 4.6. Наоборот, резонатор, в котором луч остается в пределах ограниченной области, называется устойчивым.

Рис. 4.6. Пример неустойчивого резонатора.

В настоящей главе мы займемся главным образом вычислением модовых конфигураций и соответствующих резонансных частот, а также дифракционных потерь для наиболее широко применяемых резонаторов.