4. Затухающий апериодический процесс.
Рассмотрим теперь случай, когда корни характеристического уравнения действительны, т. е. когда 
. В этом случае, обозначая
получим корни характеристического уравнения:
Поэтому общее решение уравнения (1.16) может быть записано в виде
Здесь 
определяются начальными условиями. Именно, если для 
то
Нашей задачей является исследовать характер возможных движений в зависимости от начальных условий.
Во-первых, очевидно, что при всяких начальных условиях движение затухает, так как 
значит, при 
Чтобы выяснить подробнее характер затухания, найдем 
и — моменты времени (т. е. промежутки времени после начального момента), для которых соответственно обращаются в нули 
Воспользовавшись (1.40), находим следующие уравнения для определения 
Из этих уравнений сразу видно, что каждое из них имеет не более одного корня; таким образом, осцилляторное затухание невозможно, мы имеем дело с гак называемым апериодическим процессом.
Выясним, когда уравнение, определяющее 
не имеет ни одного положительного корня. В этом случае движение монотонно затухает, асимптотически стремясь к нулю. Как видно из выражения для 
это будет, если
На рис. 25 указана область начальных значений, которые
удовлетворяют этому неравенству (область II). Для остальных начальных значений 
— уравнение, определяющее имеет положительный корень; это значит, что смещение не убывает монотонно, а сначала возрастает по абсолютной величине и, лишь достигнув некоторого экстремума, начинает убывать, асимптотически стремясь к нулю.
Здесь следует различать два случая, смотря по тому, имеет ли при рассматриваемых начальных условиях уравнение, определяющее 
положительный корень или такого корня нет. Если такого корня нет, то смещение в течение всего времени движения 
сохраняет свой знак; система отдаляется от положения равновесия, достигает некоторого максимального отклонения и затем монотонно приближается к положению равновесия (но не проходит через положение равновесия). По (1.41) этот случай имеет место, если
На рис. 25 цифрой 
отмечены области начальных значений приводящих к движениям такого типа.
Рис. 25.
Если уравнение, определяющее 
имеет положительный корень, то система сначала приближается к положению равновесия, в момент 
проходит через положение равновесия, далее в момент 
достигает некоторого максимального отклонения в направлении, противоположном начальному отклонению, и, наконец, монотонно приближается к положению равновесия, не достигая, однако, его в конечное время.
На рис. 25 область III соответствует начальным значениям, приводящим к такого рода движениям.
Связь между характером движения и начальными условиями можно представить графически еще и в другом виде, именно изобразить зависимость смещения от времени для всех трех случаев 
Это и выполнено на рис. 26, причем предполагается, что во всех случаях начальное смещение 
Рис. 26.
