§ 2. Метод Ван-дер-Поля

Чтобы исследовать систему уравнений (9.2) при достаточно малых значениях параметра можно воспользоваться следующим приближенным методом исследования нелинейных систем, который будем называть «методом медленно меняющихся амплитуд» или методом Ван-дер-Поля [186, 187, 190, 35, 36]. Именно, вместо уравнений (9.2) можно рассматривать другие, составленные по определенному рецепту, вспомогательные, так называемые укороченные уравнения Ван-дер-Поля, которые позволяют сравнительно просто получить приближенные решения исходных уравнений (тем более точные, чем меньше значение параметра В частности, задача отыскания периодических решений уравнений (9.2) (задача отыскания предельных циклов на фазовой плоскости х, у) сводится к несравненно более простой задаче нахождения состояний равновесия укороченных уравнений. Следует отметить, что метод Ван-дер-Поля является адекватным методом исследования нелинейных систем, в том смысле, что этот метод учитывает специфику нелинейных систем, их характерные черты, так как укороченные уравнения, так же как и исходные уравнения, являются нелинейными.

Перейдем к составлению укороченных уравнений для интересующей нас системы (9.2).

Прежде всего заметим, что при система (9.2) превращается в уравнения обычного гармонического осциллятора; их решения, как известно (см., например, §§ 1 и 2 гл. I), имеют вид:

или

или постоянные интегрирования), а фазовыми траекториями являются окружности с центром в начале координат, по которым изображающие точки двигаются с постоянной угловой скоростью

Будем искать решения уравнений (9.2) при достаточно малых в том же виде (9.4) или (9.5), но, разумеется, считая теперь (или не константами, а некоторыми, пока неизвестными функциями времени (они, как увидим ниже, будут медленно меняющимися функциями времени). Эта замена переменных х, у на а, b (или на «переменные Ван-дер-Поля» - геометрически может быть интерпретирована как переход с фазовой плоскости на другую плоскость (на плоскость переменных Ван-дер-Поля), вращающуюся по часовой стрелке относительно плоскости х, у (вокруг начала координат) с постоянной угловой скоростью на этой вращающейся плоскости являются прямоугольными координатами, полярными (рис. 466); согласно (9.4) и связаны между собой соотношениями:

В переменных а, b уравнения (9.2) принимают вид:

Рис. 466.

или

Рассматривая правые части полученных уравнений как функции трех переменных (эти функции — периодические по с периодам и развертывая их в ряды Фурье по (коэффициенты Фурье являются функциями имеем:

где ; и соответствующие коэффициенты Фурье функций

и

(при фиксированных а и b).

Уравнения (9.7) (или (9.7а)) - это наша система (9.2), преобразованная к другим, медленно меняющимся переменным — являются величинами порядка Так как формулы преобразования переменных (9.4) содержали явно время, то новая система уравнений неавтономна, хотя исходная система была автономной. От этой системы уравнений (9.7а) в медленно меняющихся переменных мы перейдем к приближенным, укороченным уравнениям Ван-дер-Поля:

отбрасывая в правых частях все «осциллирующие» члены или, иначе говоря, производя усреднение правых частей уравнений (9.7) (или (9.7а)) по явно входящему времени.

Решения полученной системы укороченных уравнений (9.8) аппроксимируют при достаточно малых значениях параметра решения «полной» системы (9.7), эквивалентной, как уже указывалось,

исходной системе (9.2). Поэтому если мы найдем решения укороченных уравнений то с помощью формул преобразования переменных (9.4) мы получим приближенные (но тем более точные, чем меньше значение параметра решения системы

В частности, состояния равновесия укороченных уравнений соответствуют (приближенно) синусоидальным Периодическим решениям уравнений (9.2) с периодом

Отложив до следующего параграфа доказательство аппроксимирующих свойств укороченных уравнений, займемся сейчас их исследованием (построением их фазовых траекторий на плоскости Система укороченных уравнений (9.7), как и первоначальная система (9.2), является автономной и может быть исследована обычными методами. Особенно просто это исследование проводится в полярных координатах в которых укороченные уравнения имеют разделяющиеся переменные.

Для вывода укороченных уравнений в полярных координатах сделаем в исходных уравнениях (9.2) замену переменных х, у на полярные переменные Ван-дер-Поля согласно

или, разрешив относительно и

Усредняя правые части полученных уравнений рассматриваемой динамической системы по явно входящему в них времени (или, что то же самое, по поскольку время входит в правые части только в комбинации получим следующие укороченные уравнения для :

где

— средние значения по и периодических (с периодом ) функций

зависящие только от К

Проведем исследование системы укороченных уравнений и построение их фазовых траекторий на плоскости переменных Ван-дер-Поля.

Начнем с первого из уравнений (9.11), которое мы сможем исследовать независимо от второго:

качественная картина уравнения такого типа, как мы видели, полностью определяется расположением и характером состояний равновесия на соответствующей фазовой прямой.

Координаты этих состояний равновесия суть корни уравнения

или

Состояние равновесия будет устойчивым, если

или если

и неустойчивым, если

Остальные движения, как мы знаем, являются либо асимптотическими к состояниям равновесия как при и при либо асимптотическими к состоянию равновесия для и уходящими в бесконечность для

Для этих движений, как всегда в таких случаях, могут быть найдены и аналитические выражения.

Действительно, из (9.11а) имеем:

где значение К при откуда, разрешая это уравнение относительно К, имеем:

Теперь перейдем ко второму из уравнений (9.11):

Здесь следует различать два случая.

Рис. 467.

В первом случае, довольно часто встречающемся на практике,

или

В этом случае второе уравнение интегрируется сразу:

и мы можем сразу представить себе картину фазовых траекторий на плоскости переменных Ван-дер-Поля. Все интегральные кривые суть прямые, проходящие через начало координат и наклоненные под всевозможными углами Движение вдоль каждой из этих прямых происходит одинаково и определяется уравнением (9.11 а). Корни уравнения дают радиусы окружностей, каждая точка которых является состоянием равновесия укороченной системы. Примерная картина разбиения на траектории плоскости переменных Ван-дер-Поля (плоскости в частном случае трех состояний равновесия укороченного уравнения (9.11а) изображена на рис. 467.

Рис. 468.

Если мы перейдем теперь от вращающейся плоскости а, b к неподвижной фазовой плоскости х, у с помощью формул преобразования (9.4) или (9.5), то, как нетрудно видеть, окружностям, состоящим из состояний равновесия на плоскости будут соответствовать на плоскости х,у круговые предельные циклы, имеющие те же радиусы (рис. 468). Движение изображающей точки по какому-нибудь циклу, имеющему радиус следует закону:

где произвольно. Произвольность начальной фазы для периодических движений по данному предельному циклу на плоскости х, у соответствует тому обстоятельству, что состояния равновесия укороченных уравнений образуют на плоскости а, b целые окружности.

Сразу видно, что предельный цикл будет орбитно устойчив, если соответствующие состояния равновесия на плоскости а, b будут устойчивы, и наоборот. Остальные траектории, представляющие собою на плоскости а, b отрезки прямых, преобразуются на плоскости х, у

в спирали, вообще говоря, накручивающиеся на предельные циклы либо при либо при

Перейдем теперь ко второму случаю, когда Пусть уравнение имеет несколько корней и пусть эти корни будут Мы предположим, что ни одно из чисел не совпадает с числами о которых у нас уже была речь.

Тогда, возвращаясь к уравнениям (9.11), легко сделать заключение, что состояниям равновесия уравнения (9.11а) на фазовой плоскости а, b соответствуют круговые предельные циклы, опять-таки с радиусами Движение изображающей точки на плоскости по какому-нибудь предельному циклу радиуса подчиняется уравнениям:

или

Устойчивость или неустойчивость рассматриваемого предельного цикла определяется устойчивостью или неустойчивостью соответствующего состояния равновесия для уравнения (9.11а), а направление вращения — знаком

Рис. 469.

Остальные кривые суть спирали, накручивающиеся на предельные циклы (или на состояние равновесия) либо при либо при (рис. 469). Если мы теперь в этом втором случае перейдем

к неподвижной системе координат, то получим картину, совершенно аналогичную той, которая была на этой плоскости в первом случае. Мы будем опять иметь ряд предельных циклов с радиусами Движение по какому-нибудь из этих предельных циклов, для которого дается уравнениями:

Этот случай отличается от первого случая лишь тем, что здесь мы имеем определенную поправку на частоту которая в первом приближении по соответствует поправке на период (т. е. относительной поправке

Остальные траектории — опять спирали, вообще говоря, медленно накручивающиеся на предельные циклы или на состояние равновесия если последнее существует и устойчиво.

Мы истолковали результаты исследования укороченных уравнений (уравнений (9.8) или, что все равно, уравнений на основной фазовой плоскости х,у. Теперь возникает вопрос, в какой мере эти результаты отражают свойства решений исходных уравнений

Можно доказать (и в этом, вообще говоря, и заключается обоснование метода Ван-дер-Поля), что то разбиение фазовой плоскости х, у на траектории, которое мы только что получили с помощью решений укороченных уравнений, аппроксимирует при достаточно малых картину фазовых траекторий исходной системы уравнений (9.2). Это высказывание можно сделать более точным. Именно, что касается предельных циклов, то мы докажем, что при достаточно малых уравнения (9.2) действительно имеют предельные циклы (если уравнение имеет простые корни которые близки к окружностям с радиусами (тем ближе, чем меньше и не имеют других предельных циклов; эти предельные циклы, соответствующие периодическим, близким к синусоидалвным движениям, устойчивы, если .

Что же касается решений, соответствующих процессам установления, то мы, следуя Л. И. Мандельштаму и Н. Д. Папалекси [90], докажем, что решения укороченных уравнений сколь угодно мало отличаются от решений исходных уравнений (9.2) (при одинаковых

начальных условиях) в течение сколь угодно большого промежутка времени положительное, сколь угодно большое число), и если параметр достаточно мал.