1. Колебательный контур с железом.

В качестве первого примера нелинейной консервативной системы мы рассмотрим электрический колебательный контур, в который входит катушка самоиндукции, содержащая железный сердечник [197] (рис. 93). Для того чтобы можно было рассматривать систему как консервативную, мы должны пренебречь сопротивлением контура и потерями на гистерезис. Если пренебречь рассеянием в катушке, т. е. считать, что весь магнитный поток проходит сквозь все витков катушки самоиндукции, то на основании закона Кирхгофа мы получим для силы тока в контуре следующее уравнение:

причем есть некоторая функция от нелинейная вследствие наличия железного сердечника в катушке. Примерный вид функции для железного сердечника приведен на рис. 94.

Рис. 94.

Уравнение (2.45) легко может быть приведено к форме Лагранжа. Для этого заменим через где заряд на обкладках конденсатора, и введем обозначение

В таком случае

и уравнение (2.45) принимает форму Лагранжа:

Как мы уже указывали, для уравнения Лагранжа можно написать «интеграл энергии»:

В рассматриваемом случае этот интеграл энергии имеет вид

Здесь действительно выражает полную энергию системы. В самом деле, электростатическая энергия в конденсаторе есть магнитная же энергия в катушке самоиндукции определится как работа против самоиндукции, т. е. выразится так:

или в результате интегрирования по частям:

Следовательно, Но зато в этом случае и мы имеем пример того, что лагранжева функция не всегда равняется разности между кинетической и потенциальной энергиями.

Введя новую переменную можем привести наше уравнение к типу Гамильтона. Функция Гамильтона напишегся так:

где есть функция, получающаяся разрешением относительно выражения Характер функции как видно из кривой рис. 94, таков, что преобразования взаимно непрерывны и взаимно однозначны. Уравнения Гамильтона напишутся так:

Характер поведения интегральных кривых на фазовой плоскости определится из интеграла энергии, который на основании может быть записан в виде

Это выражение аналогично тем, которые мы получали при рассмотрении примеров консервативных систем в § 5, с той лишь разницей,

что как бы поменялись местами. Мы можем поэтому относительно характера интегральных кривых высказать те же утверждения, какие были высказаны для простейших консервативных систем. Подынтегральное выражение всегда больше нуля, и потому есть положительная функция, производная которой обращается в нуль только в точке Следовательно, соответствует минимуму энергии, и особая точка есть центр; она соответствует устойчивому положению равновесия. Все интегральные кривые суть замкнутые кривые, вложенные одна в другую и охватывающие особую точку. Более точно мы сможем определить характер интегральных кривых, задавшись определенным аналитическим выражением функции Эта функция при отсутствии подмагничивания достаточно хорошо аппроксимируется выражением

где - положительные константы. Взяв это выражение, мы получим:

и далее:

Первый интеграл вычисляется при помощи подстановки Окончательно получим:

Это уравнение определяет семейство кривых типа эллипса. На рис. 95 изображено семейство этих кривых, построенное для некоторого частного значения параметров.