1. Вольтова дуга в цепи с сопротивлением и самоиндукцией.

К числу таких систем относится схема вольтовой дуги, включенной на батарею с э. д. с. Е через сопротивление R и самоиндукцию L (рис. 167). Эта схема приводит к нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка, если мы будем учитывать только те элементы схемы, которые изображены на рис. 167, и пренебрежем всеми паразитными параметрами, которые имеются в любой реальной схеме, считая, что скорости колебательных процессов в схеме малы по сравнению со скоростями установления ионных процессов, обусловливающих ток в вольтовой дуге. Нелинейность этого уравнения обусловлена тем, что дуга представляет собой проводник, не подчиняющийся закону Ома, т. е. тем, что сила тока, текущего через дугу, представляет собой нелинейную функцию напряжения на зажимах дуги. Связь напряжения на зажимах дуги с силой тока, текущего через дугу, может быть задана графически так называемой статической характеристикой дуги или где напряжение, сила тока (рис. 168).

При сделанных предположениях из второго закона Кирхгофа получим для рассматриваемой схемы следующее дифференциальное

Рис. 168.

уравнение первого порядка:

или

Состояния равновесия определяются условием т. е. уравнением

Чтобы найти корни этого уравнения, построим, как это обычно делают в электротехнике, на одной плоскости характеристику дуги и так называемую «нагрузочную» прямую их точки пересечения дадут нам значения тока в состояниях равновесия (рис. 169). Там же отложена и кривая которая в некотором масштабе изображает функцию а зная можно сразу построить траектории на фазовой прямой (рис. 170). В рассматриваемом случае существуют три состояния равновесия: из которых, как это вытекает из приведенных выше признаков устойчивости, первое и последнее устойчивы, а среднее неустойчиво.

Установим, как зависит характер движения в нашей динамической системе от параметров, например от или

Рис. 169.

Рис. 170.

Пусть будет переменный параметр. В согласии с общими правилами строим на плоскости кривую или

(рис. 171). Эта кривая, как видно из чертежа, имеет две точки бифуркации и, следовательно, два бифуркационных значения параметра Бифуркационное значение параметра соответствует столь большому напряжению батареи (при заданном при котором состояния равновесия сливаются и исчезают, так что при дальнейшем увеличении остается только одно устойчивое состояние равновесия соответствующее значительному току. Бифуркационное значение параметра соответствует столь малому напряжению батареи (при заданном что состояния равновесия сливаются и исчезают, и мы имеем при дальнейшем уменьшении лишь одно устойчивое состояние равновесия соответствующее незначительному току. Из этой диаграммы следует, что если мы будем медленно и непрерывно изменять то в бифуркационных точках мы будем иметь скачкообразные переходы системы из одного состояния равновесия в другое. Сила тока в цепи дуги будет в соответствии с уравнением (4.11) увеличиваться от до и падать от до Картина зависимости стационарного тока от напряжения батареи имеет гистерезисный характер (рис. 172). Аналогично можно построить бифуркационную картину при заданом и изменяющемся

Рис. 171.

Рис. 172.

Мы рассмотрели случай достаточно малых сопротивлений в цепи дуги — случай где наибольшее абсолютное значение наклона характеристики дуги на падающем участке. Если же

то при любых имеется только одно состояние равновесия и притом устойчивое (рис. 173). Устойчивость состояния равновесия получается при любых L, в частности при сколь угодно малых Этот вывод находится в определенном противоречии с экспериментальными данными: оказывается, условие (4.13) не является достаточным для устойчивости состояния равновесия на падающем участке

характеристики. Это говорит о том, что, рассматривая схему с вольтовой дугой в виде динамической системы первого порядка степени свободы), мы не учли каких-то параметров схемы, существенных для рассматриваемого случая. Такими существенными параметрами в случае больших R и малых L являются малая паразитная емкость дуги и инерционность ионных процессов в дуге. Эту задачу о режимах горения вольтовой дуги, в цепи которой имеются не только сопротивление и самоиндукция, но и емкость, мы рассмотрим в § 5 гл.