2. Колебательный контур с сегнетовой солью в конденсаторе.

В качестве второго примера нелинейной консервативной системы мы рассмотрим колебательный контур с конденсатором, в котором диэлектриком является сегнетова соль (рис. 96), обладающая электрическими свойствами, аналогичными магнитным свойствам железа. Для сегнетовой соли характерна нелинейная зависимость между электрической индукцией и напряженностью, поля

(рис. 97), вследствие чего емкость конденсатора с сегнетодиэлектриком оказывается зависящей от заряда или от напряжения.

Рис. 95.

Мы назовем емкостью такого конденсатора отношение заряда на обкладках конденсатора к разности потенциалов, вызванной этим зарядом.

Зависимость таким образом определенной емкости конденсатора от величины заряда на его обкладках примерно изображена на рис. 98.

Рис. 96.

Пренебрегая омическим сопротивлением и потерями на гистерезис, мы получим, вследствие того, что С есть функция нелинейную консервативную систему. Для рассматриваемого контура мы можем по закону Кирхгофа написать):

Это уравнение также легко может быть приведено к виду Лагранжа. Введем функцию состояния системы

В таком случае

и уравнение (2.55) может быть записано в форме Лагранжа:

Интеграл энергии напишется так:

Легко видеть, что и в этом случае есть полная энергия системы, так как энергия заряда конденсатора равна работе тока, заряжающего конденсатор:

Рис. 97.

Рис. 98.

Но, кроме того, в этом случае, в отличие от предыдущего, лагранжева функция т. е. равняется разности между магнитной и электростатической энергиями системы. Уравнение (2.55) подстановкой легко может быть приведено к форме Гамильтона подобно тому, как это было сделано в предыдущем примере.

Уравнение (2.56) есть уравнение семейства интегральных кривых на фазовой плоскости Так как функция имеет минимум при то есть особая точка типа центра, соответствующая устойчивому состоянию равновесия.

Для того чтобы точнее определить вид интегральных кривых, мы должны гак или иначе прецизировать вид функции В общем случае, если помимо переменного напряжения на обкладках конденсатора существует некоторое постоянное напряжение (по аналогии с подмагничиванием мы будем это постоянное напряжение называть «подэлектризацией»), то емкость конденсатора будет уже изменяться не одинаково в обе стороны от точки

Рис. 98.

Рис. 100.

Учитывая это обстоятельство, мы можем зависимость между в некоторой ограниченной области значений аппроксимировать при помощи следующего выражения:

(график этой функции приведен на рис. 99). Подставляя выражение для в выражение (2.56), получим:

Это уравнение определяет семейство замкнутых кривых, вложенных одна в другую (рис. 100). Несимметричность этих кривых относительно оси обусловлена наличием члена в уравнении семейства. Но этот член появился в результате подэлектризации. При отсутствии подэлектризации и несимметричность интегральных кривых исчезает. Мы получим семейство кривых типа эллипсов, причем только те из этих кривых будут заметно отличаться от эллипсов, для которых при больших член играет заметную роль.