3. Непосредственное исследование дифференциального уравнения.

Мы исследовали характер движений на фазовой плоскости для случая линейного осциллятора при наличии трения, пропорциональ--ного скорости, и выяснили, что процессам при малом затухании со соответствует движение изображающей точки по спиралеобразной фазовой траектории, имеющей асимптотическую точку в начале координат. Само начало координат в этом случае является состоянием равновесия. Однако мы получили эту картину на фазовой плоскости, исходя из заранее найденного решения (1.20). Мы могли бы получить эту же картину непосредственно из (1.16), не зная решения (1.20).

Заменим, как мы уже это делали, исходное уравнение второго порядка (1.16) двумя эквивалентными уравнениями первого порядка:

Деля одно уравнение на другое, получим дифференциальное уравнение интегральных кривых в виде:

Нетрудно видеть, что это уравнение, подобно уравнению (1.11), определяет на фазовой плоскости некоторое поле касательных, а вместе с уравнением (1.33) — некоторое векторное поле с единственной особой точкой

Легко исследовать приближенно с помощью изоклин характер этого поля. Уравнение изоклины, для точек которой интегральные кривые имеют наклон х, напишется так:

где

т. е. изоклины и в этом случае представляют собой прямые, проходящие через начало координат. Задав, например, достаточно большой ряд значений (при фиксированных которые

определяются системой), получим семейство изоклин и с помощью их с нужной степенью точности сможем построить векторное поле.

На рис. 23 изображено такое векторное поле, построенное при помощи нескольких изоклин, и уже из этого чертежа можно предугадать характер интегральных кривых.

Полученное после исключения времени уравнение (1.34) допускает интегрирование, так как оно принадлежит к классу однородных уравнений.

Рис. 23.

Интегрируя по обычным правилам (подстановка ), получим для нашего случая уравнение интегральных кривых:

исследованием которого мы уже занимались. Теперь мы это уравнение получили иным путем, не зная решения уравнения (1.16). Выражение фазовой скорости находится из уравнений (1.13) и (1.33):

и

Мы видим при этом способе рассмотрения сразу, почти без всяких вычислений, что фазовая скорость нигде не обращается в нуль, за исключением начала координат но уменьшается по мере приближения представляющей точки к началу координат.

Что можно сказать о характере движений в нашей системе, зная характер интегральных кривых на фазовой плоскости и зная выражение для фазовой скорости?

Во-первых, можно утверждать, что все фазовые траектории соответствуют осциллирующим, но затухающим, стремящимся к положению равновесия движениям (за исключением «движения» по траектории Действительно, все эти траектории — спирали; так как при движении представляющей точки по спирали координата и скорость системы многократно проходят через нуль, то спирали на фазовой плоскости отображают осцилляторный процесс. Далее радиус-вектор представляющей точки, двигающейся по спирали, уменьшается после каждого оборота; это значит, что мы имеем дело с затухающим процессом, максимальные значения хил уменьшаются от оборота к обороту. Во-вторых, очевидно, что особая точка — соответствует состоянию равновесия.

Результаты, полученные из анализа характера движений на фазовой плоскости, можно сформулировать так: наша система при любых начальных условиях совершает затухающие осцилляторные движения вокруг положения равновесия за исключением того единственного случая, когда начальные условия как раз соответствуют состоянию равновесия.

Рис. 24.

В рассматриваемом случае мы имеем только одну особую точку системы интегральных кривых, являющуюся асимптотической точкой для всех интегральных кривых. Такая особая точка, которая является асимптотической точкой всех интегральных кривых, имеющих вид спиралей, вложенных друг в друга, называется фокусом.

Выясним теперь вопрос, является ли в рассматриваемом случае особая точка типа фокуса устойчивой. Принимая во внимание, что представляющая точка по всякой интегральной кривой будет двигаться, приближаясь к особой точке, легко убедиться в том, что условие устойчивости состояния равновесия, сформулированное нами выше, в этом случае соблюдается. Действительно, мы всегда можем выбрать такую область 8 (рис. 24, двойная штриховка), чтобы представляющая точка не вышла за пределы области (простая штриховка). Следовательно, в рассматриваемом нами случае состояние равновесия устойчиво и особая точка — устойчивый фокус. Устойчивость особой точки типа фокуса, очевидно, связана с тем, раскручиваются или скручиваются интегральные кривые, считая по направлению движения представляющей точки. Так как направление движения представляющей точки однозначно определено выбором координат (точка должна двигаться по часовой стрелке), то вместе

с тем (так как направление отсчета времени не может быть изменено) однозначно устанавливается и устойчивость особой точки в рассматриваемом случае. Наоборот, если бы спирали раскручивались (считая в том же направлении), то особая точка была бы неустойчива. Как легко убедиться, например, из уравнения (1.28), скручивание интегральных кривых обусловлено тем, что так как только в этом случае радиус-вектор при движении по часовой стрелке убывает.

Таким образом, особая точка типа фокуса, вообще говоря, может быть как устойчивой, так и неустойчивой (в отличие от особой точки типа центра, которая, как мы видели, всегда устойчива). В рассматриваемом случае фокус устойчив, потому что Физический смысл этого условия устойчивости ясен: трение должно быть положительно, т. е. должно препятствовать движению и потреблять энергию. Такое положительное, препятствующее движению трение, на преодоление которого затрачивается работа, не может вызвать неустойчивости, и если положение равновесия в системе было устойчиво при отсутствии трения (в гармоническом осцилляторе), то оно останется устойчивым и при наличии положительного трения. При дальнейшем рассмотрении мы встретимся с неустойчивыми особыми точками типа фокуса.

Рассмотренный нами устойчивый фокус обладает «более сильной» устойчивостью, чем рассмотренный в предыдущем параграфе центр. Действительно, в случае устойчивого фокуса будет выполнено не только условие устойчивости по Ляпунову, но и более жесткое требование. Именно, при любых начальных отклонениях система по прошествии достаточно длинного промежутка времени вернется как угодно близко к положению равновесия. Такую устойчивость, при которой начальные отклонения не только не нарастают, но, наоборот, затухают, мы будем называть абсолютной устойчивостью. В рассмотренном нами случае линейного осциллятора фокус абсолютно устойчив.