5. Необходимые и достаточные условия грубости.

Объединяя полученные результаты, можно сформулировать следующие необходимые условия грубости системы в области В области могут быть только простые (грубые) состояния равновесия, такие, для которых действительные части корней характеристического уравнения отличны от нуля. Это требование может быть сформулировано еще и так: в области не может быть состояний равновесия

а) для которых

б) для которых при

II. В области могут быть только простые (грубые) предельные циклы, т. е. такие предельные циклы, для которых характеристический показатель не равен нулю. Это требование может быть сформулировано еще и так: в области не может быть периодических движений для которых

III. В области не может быть сепаратрис, идущих из седла в седло.

В силу этих условий в грубой системе возможны осооые траектории лишь следующих типов: простые (грубые) состояния равновесия, простые (грубые) предельные циклы и сепаоатрисы седел, в одну сторону стремящиеся к узлу, фокусу или к предельному циклу или, наконец, при некотором значении достигающие граничного цикла без контакта.

Очевидно при этом, что предельными траекториями в. грубых системах могут быть только состояния равновесия и предельные циклы.

Действительно, если сепаратриса седла являетгя ппелельной, то, как нетрудно видеть, она должна идти из седла в седло, что в грубых системах невозможно.

Таким образом, требование грубости запрещает сложный характер особых траекторий. Сформулированные выше условия I, II и III являются необходимыми условиями грубости данной системы.

Можно показать, что эти же условия являются достаточными для грубости системы. Именно, имеет место следующая основная в теории грубых систем обратная теорема.

Теорема Если система

имеет в области (ограниченной циклом без контакта С):

1) лишь такие состояния равновесия, для которых и для которых если

2) лишь предельные циклы, для которых

3) лишь такие сепаратрисы, которые не идут из седла в седло, то такая система в области является грубой.

Не приводя доказательств этой теоремы, сделаем все же к ней небольшое пояснение.

Если динамическая система, для которой выполняются условия 1), 2) и 3), является грубой, то малые изменения ее правых частей не будут менять топологической структуры ее разбиения на траектории, а будут лишь «мало сдвигать» все это разбиение. Но при выполнении условий 1), 2), 3), т. е. при условии, что особые траектории системы являются лишь простыми предельными циклами и сепаратрисами, не идущими из седла в седло (подробное перечисление возможных видов сепаратрис см. ниже), нетрудно показать, что при малых изменениях правых частей системы или, иначе говоря, при переходе к измененной системе особые траектории не меняют своего характера и при этом лишь мало сдвигаются. Этот факт делает утверждение теоремы совершенно наглядным геометрически. Точное доказательство теоремы состоит в фактическом построении для всякой измененной системы достаточно близкой к системе такого топологического отображения области О в себя, при котором траектории системы отображаются в траектории системы и соответствующие друг другу точки находятся на сколь угодно малом расстоянии друг от друга.