3. Возможные типы особых и неособых траекторий.

Дадим теперь доказательство основных общих теорем об особых траекториях и о качественной картине разбиения фазовой плоскости на траектории.

Теорема Всякая траектория, являющаяся предельной для какой-либо отличной от нее траектории, является особой, т. е. орбитно-неустойчивой.

Пусть траектория, являющаяся предельной хотя бы для одной отличной от нее самой траектории L (пусть для определенности L стремится к L при Если состояние равновесия, то на L заведомо всегда найдется точка находящаяся на расстоянии отличном от нуля, от этого состояния равновесия. Если L не является состоянием равновесия, то на L также непременно найдутся точки (обозначим одну из них через находящиеся на отличном от нуля расстоянии от точек траектории

Действительно, таких точек могло бы не быть только в том случае, если бы траектория L была предельной траекторией для Но это невозможно, так как есть отличные от состояний равновесия предельные точки, именно точки L, а тогда, в силу теоремы III, L не может быть предельной ни для одной траектории, в частности для Возьмем теперь Тогда точка будет лежать вне -окрестности Но предельная траектория для следовательно, при любом в -окрестности всякой точки L будут находиться точки L, соответствующие (при некотором выборе движения на сколь угодно большим значениям частности большим того, которому соответствует точка . А так как точка траектории L по самому выбору лежит вне -окрестности L, то отсюда, очевидно, следует, что L во всяком случае орбитнонеустойчива при -орбитно-неустойчива). Таким образом, теорема доказана.

Рассмотрим теперь полутраекторию, среди предельных точек которой есть отличные от состояний равновесия. Пусть такая полутраектория и предельное множество, -окрестность предельного множества К является частью -окрестности При этом для всякого можно указать такое чтобы точки соответствующие значениям целиком лежали в -окрестности К.

Пусть - какая-нибудь отличная от состояния равновесия точка множества -отрезок без контакта, проведенный через эту точку. Как мы знаем (см. предложение VII), на отрезке I лежит последовательность точек полутраектории соответствующих неограниченно возрастающим значениям и стремящихся к точке Будем обозначать через замкнутую кривую, состоящую из дуги полутраектории и части отрезка I (такие замкнутые кривые рассматривались в предложении V).

Все замкнутые кривые начиная с достаточно большого очевидно, лежат целиком в -окрестносги предельного множества К. При этом предельное множество К лежит либо внутри всех этих кривых либо вне всех этих кривых (рис. 295 и 296).

Рис. 295.

Рис. 296.

Рассмотрим область граница которой состоит из замкнутой кривой и предельного множества К (см. заштрихованные области на рис. 295 и 296). При любом начиная с некоторого достаточно большого всякая область целиком содержится в -окрестности Очевидно, все отличные от и точки части дуги I принадлежат области

После этих предварительных замечаний докажем следующую теорему:

Теорема II. Незамкнутая полутраектория имеющая среди своих предельных точек отличные от состояний, равновесия, является орбитно-устойчивой.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что при любом все траектории, проходящие через достаточно малую окрестность какой-либо точки полутраектории с возрастанием в конце концов войдут внутрь -окрестности предельного множества К и больше уже не выйдут из нее. В силу предыдущего, при любом можно указать такое целое число (зависящее от ), что при всяком

область граница которой состоит из кривой и множества К, целиком лежит в -окрестносги К.

Пусть какая-нибудь точка полутраектории какое-нибудь фиксированное целое число. В силу предложения VIII всегда можно указать столь малую окрестность точки чтобы всякая траектория, при проходящая через точку этой окрестности, пересекала при некотором дугу I в точке, сколь угодно близкой к точке во всяком случае, в точке, лежащей между точками (см. рис. 295 и 296). Но при значениях эта траектория, очевидно, будет находиться в области и выйти из этой области не может.

Действительно, она не может пересечь ни кривую С,- (см. предложение V), ни предельное множество К, состоящее (в силу теоремы II § 2) из целых траекторий. Таким образом, теорема доказана.

В частности, из этой теоремы следует, что всякая полутраектория, стремящаяся к предельному циклу, орбитно-устойчива.

Перейдем теперь к выяснению того, когда замкнутая траектория является орбитно-устойчивой (т. е. неособой) и когда орбитнонеустойчивой (т. е. особой). Для этого отметим прежде всего, что для рассматриваемых нами динамических систем, т. е. систем с аналитическими правыми частями, могут представиться, как будет показано в следующем параграфе, следующие два случая:

1) либо все траектории, отличные данной замкнутой траектории L и проходящие через достаточно малую окрестность L, не замкнуты;

2) либо все траектории, проходящие через все достаточно близкие к L точки, замкнуты.

Очевидно, первый случай имеет место, когда траектория L есть предельный цикл; второй случай — в консервативных системах.

Теорема III. Замкнутая траектория не являющаяся предельной ни для одной незамкнутой траектории, орбитно-устойчива.

Для доказательства теоремы докажем сначала, что все траектории, проходящие через точки, достаточно близкие к траектории замкнуты. Действительно, если бы среди сколь угодно близких к траекторий могли быть незамкнутые траектории, то тогда мы имели бы указанный выше случай 1), т. е. все траектории, кроме проходящие через точки, достаточно близкие к были бы не замкнуты. Но

тогда нетрудно видеть, что траектория непременно является предельной траекторией для незамкнутой траектории. В самом деле, пусть таково, что в -окрестности не лежит ни одного состояния равновесия и ни одной замкнутой траектории, кроме Проведем через какую-нибудь точку на отрезок без контакта . Пусть какая-нибудь траектория, проходящая при через точку отрезка столь близко к что при некотором не выходя до этого из -окрестности , она пересекает отрезок I еще раз в точке (см. предложение VIII § 2 настоящей главы). Обозначим через С замкнутую кривую, состоящую из дуги траектории L и части дуги Кривая С, а также кольцевая область между целиком лежат в -окрестности . С другой стороны, либо при либо при траектория L будет целиком лежать в области О. Так как в силу выбора в -окрестности нет ни одного состояния равновесия и ни одной замкнутой траектории, кроме то из теоремы IV § 2 настоящей главы, очевидно, следует, что является предельной траекторией для незамкнутой траектории что противоречит предположению. Следовательно, все траектории, проходящие через точки некоторой достаточно малой окрестности замкнуты.

Но нетрудно видеть, что тогда все достаточно близкие к траектории, в силу теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий и в силу того, что они замкнуты, будут целиком лежать в -окрестности Это и означает, что орбитно-устойчива. Теорема доказана.

В дополнение к приведенным теоремам сделаем ряд замечаний по поводу полутраекторий, стремящихся к состоянию равновесия.

В рассмотренных выше примерах мы видели, что такие полутраектории могут быть как орбитно-устойчивыми (например, полутраектории, стремящиеся к узлу или фокусу), так и орбитно-неустойчивыми (например, полутраектории, стремящиеся к седлу). В таких примерах состояние равновесия было простое: узел, фокус или седло. Можно показать в общем виде, не делая никаких предположений относительно того состояния равновесия, к которому стремится рассматриваемая полутраектория (так что это состояние равновесия может быть как простым, так и сложным), что в случае, когда такая полутраектория орбитно-неустойчива, она непременно должна быть граничной для некоторой седловой области. Не проводя доказательства, остановимся все же на этом несколько подробнее.

Если полутраектория стремящаяся к состоянию равновесия О, орбитно-неустойчива, то можно указать такое, что среди траекторий, проходящих через сколь угодно близкие к L точки, всегда найдется траектория, выходящая при возрастании из -окрестности Рассмотрим -окрестность состояния равновесия О. Мы всегда можем предполагать столь малым, чтобы -окрестность

О не содержала ни одного состояния равновесия кроме О, ни одной замкнутой траектории, а также не содержала бы точку полутраектории Возьмем на точку соответствующую такую, чтобы сама точка и все точки соответствующие значениям лежали бы в -окрестности состояния равновесия О. Проведем через точку отрезок без контакта I (целиком лежащий в -окре-стности см. рис. 297).

Рис. 297.

Очевидно, все траектории, проходящие через достаточно близкие к точке точки, непременно пересекут (при возрастании t) отрезок . Предположим, что через какую-нибудь отличную от точку отрезка I проходит полутраектория которая, не выходя из -окрестности О, стремится к состоянию равновесия О при

Нетрудно видеть, что тогда и все траектории, пересекающие часть отрезка I, при возрастании не выходят из -окрестности О, так как при возрастании они входят внутрь «мешка», образованного частями и полутраекторий и частью отрезка без контакта.

Если бы отрезок I по обе стороны от точки пересекали полутраектории, которые при возрастании не выходя из -окрестности О, стремились бы к состоянию равновесия О, то существовала бы окрестность точки О, через все точки которой проходили бы полутраектории, не выходящие из -окрестности О, что, очевидно, противоречит предположению. Поэтому через сколь угодно близкие к точки отрезка хотя бы по одну сторону от точки непременно должны проходить траектории, выходящие при возрастании из -окрестности О (рис. 298). Можно показать, что тогда в случае рассматриваемой нами системы (т. е. системы, правые части которой — аналитические функции) непременно существует отрицательная полутраектория стремящаяся к состоянию равновесия О, ограничивающая вместе с полуграекторией «сед-ловую область» и при достаточно малом имеющая точки вне -окрестности состояния равновесия О (см. рис. 298).

Мы будем называть орбитно-неустойчивые полутраектории, стремящиеся к состоянию равновесия (безразлично, к простому, т. е. к седлу, или сложному), сепаратрисами этого состояния равновесия. Отметим при этом, что всякая полутраектория, выделенная из незамкнутой предельной траектории, заведомо является сепаратрисой. Однако очевидно, что сепаратриса может и не быть предельной. В этом случае она является траекторией, отделяющей друг от друга траектории различного поведения. Простой пример представлен на рис. 299.

На основании всего предыдущего мы можем сделать исчерпывающие заключения относительно того, какие полутраектории, а

следовательно и какие траектории, орбитно-неустойчивы. Именно, всякая орбитно-неустойчивая (т. е. особая) траектория принадлежит к одному из следующих типов:

1) состояние равновесия;

2) предельный цикл;

3) незамкнутая траектория, у которой хотя бы одна полутраектория является сепаратрисой какого-нибудь состояния равновесия.

Рис. 298.

Рис. 299.

Свойство траектории быть особой или неособой является свойством топологически-инвариантным. Именно, имеет место следующая теорема:

Теорема IV. Если разбиения на траектории, заданные двумя динамическими системами в ограниченной области О, тождественны, т. е. существует отображение плоскости в себя, при котором траектории этих систем отображаются друг в друга, то орбитно-устойчивые полутраектории отображаются в орбитно-устойчивые, а орбитно-неустойчивые — в орбитно-неустойчивые.

Доказательство этой теоремы, не представляющее затруднений, мы опускаем.