ГЛАВА IV. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Мы приступим сейчас к систематическому изложению теории нелинейных систем и методов исследования и решения нелинейных дифференциальных уравнений, обратив особое внимание на вопросы так называемого качественного интегрирования, о важности которого мы уже упоминали. Однако наша задача будет заключаться не столько в том, чтобы дать математически безупречные доказательства всем высказываемым утверждениям, или в том, чтобы дать исчерпывающую классификацию всех возможных случаев, сколько в том, чтобы пояснить идею качественного интегрирования и развить существующие методы в связи с их применениями к теории колебаний и к некоторым другим вопросам.

Наиболее общим случаем среди тех, которыми мы ограничили наше рассмотрение, является нелинейная система, описываемая одним нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка, или, что то же самое, двумя дифференциальными уравнениями первого порядка. Однако мы начнем изложение общей теории не с этого общего случая, а с более простого случая нелинейных систем первого порядка (систем с степени свободы), т. е. таких динамических моделей, движение которых описывается одним нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка:

К таким динамическим моделям приводит при соответствующих упрощающих предположениях рассмотрение ряда задач, имеющих определенный физический интерес.

Прежде всего мы рассмотрим системы, движение которых с достаточной точностью определяется уравнением (4.1) справой частью являющейся аналитической функцией на всей прямой х, за исключением, может быть, некоторого конечного числа точек.

Общая теория, которую мы будем излагать, имеет конечной целью установление зависимости координаты системы от времени, т. е. вида функции установление же картины в одномерном фазовом «пространстве», т. е. на фазовой прямой, играет лишь вспомогательную, хотя и весьма существенную роль.