1. Модель часов с балансиром «без собственного периода».

Динамические уравнения рассматриваемой модели часов с балансиром «без собственного периода», очевидно, запишутся в виде

где момент инерции балансира, момент сил на оси балансира, создаваемый спусковым устройством, и момент сил кулоновского трения. При движении балансира

и уравнение движения принимает вид

(верхний знак — при контакте зуба ходового колеса с палеттой нижний — при контакте с палеттой

Введем новые, безразмерные переменные:

тогда уравнение (3.39) приведется к следующему виду:

где

номер палетты, находящейся в контакте с зубом ходового колеса (точкой вверху обозначено дифференцирование по новому, безразмерному времени).

В случае (т. е. ) и неподвижного осциллятора момент спускового устройства не может преодолеть сил сухого трения, поэтому и любое состояние является состоянием равновесия. В этом случае никаких периодических движений быть не может и любое движение заканчивается приходом системы в одно из состояний равновесия.

Поэтому ниже мы будем предполагать, что или, что то же самое, В этом случае, как нетрудно видеть, система не имеет состояний равновесия.

Для фазовых траекторий на листе с зубом ходового колеса контактирует правая палетта разделив второе из уравнений (3.41) на первое, получаем следующее уравнение:

после интегрирования

на нижней половине листа и

на верхней Таким образом, фазовые траектории на листе состоят из дуг парабол (3.42а) и (3.42б), причем в нижней половине

листа изображающая точка двигается влево, ибо там а в верхней — вправо (рис. 145). Все фазовые траектории на листе выходят на его границу на полупрямой .

Рис. 145.

Фазовые траектории на листе (II) симметричны (относительно начала координат) с траекториями на листе (I), так как уравнения (3.41) для траекторий на листе (II) - полуплоскости переходят в уравнения для траекторий на листе (I) при замене переменных х, у на — х, —у.

Рис. 146.

Для выяснения характера возможных движений балансира проведем две полупрямые: и рассмотрим последовательность точек пересечения с ними любой фазовой траектории — последовательность (рис. 146). Пусть изображающая точка перешла с листа (II) на лист (I) в точке Там она будет двигаться по параболе (3.42а), выйдет на ось абсцисс в точке , причем, очевидно, определяется уравнением

или

Затем изображающая точка двигается в верхней половине листа (I) и выходит, наконец, на границу этого листа на полупрямой в точке где и определяется соотношением

или

Таким образом, фазовые траектории на листе ставят точки полупрямых в некоторое однозначное и непрерывное соответствие или, другими словами, осуществляют некоторое точечное преобразование полупрямой в полупрямую выражаемое функцией последования (3.43а) и (3.436) (мы получили функцию последования, записанную в параметрическом виде; параметром является наибольшее отклонение балансира). В дальнейшем изображающая точка перейдет на лист (II) и, двигаясь по соответствующей фазовой траектории (для которой есть симметричная на листе выйдет снова на полупрямую в некоторой точке При этом в силу отмеченной выше симметрии фазовых траекторий на листах определяется по той же функцией последования, выражаемой соотношениями (3.43а) и (3.43б). Иначе говоря, точечное преобразование полупрямой в полупрямую тождественно с точечным преобразованием полупрямой в полупрямую поэтому ниже мы будем говорить о едином точечном преобразовании полупрямых друг в друга.

Следовательно, при любом движении балансира в последовательности его скоростей в моменты смены контактирующей палетты каждая последующая скорость определяется предыдущей найденной функцией последования. Это дает возможность проследить за ходом любой выбранной фазовой траектории. Неподвижная точка точечного преобразования, т. е. точка, для которой очевидно, соответствует симметричному предельному циклу, являясь точками пересечения этого предельного цикла с полупрямыми Для неподвижной точки имеем:

откуда амплитуда автоколебаний балансира

и

Для выяснения устойчивости найденного предельного цикла построим на единой диаграмме кривые и (если по оси ординат откладывать не то мы получим две прямые, изображенные на рис. 147). Точка их пересечения является неподвижной точкой точечного преобразования. Зададимся любым рис. 147 для определенности взято по прямой (3.43а) определим и затем по прямой (3.436) определим по как по новой, исходной точке преобразования найдем и Построенная «лестница Ламерея» сходится к неподвижной точке в силу того обстоятельства, что прямая идет круче, чем прямая последовательность сходится к при любых Точно так же она будет сходиться к и при Это доказывает устойчивость найденного единственною периодического движения балансира часов, доказывает, что это движение будет устанавливаться при любых начальных условиях.

Рис. 147.

Амплитуда автоколебаний балансира дается формулой (3.44) или в обычных угловых единицах

Для вычисления периода автоколебаний обратим внимание на то обстоятельство, что предельный цикл (он изображен на рис. 146) состоит из четырех дуг параболы, на каждой из которых ускорение балансира у постоянно. На дуге параболы ускорение следовательно, время пробега изображающей точки по этой дуге предельного цикла равно

аналогично, на дуге и время пробега равно

Поэтому период автоколебаний (в единицах безразмерного времени) равен

или в обычных единицах

Как видим, период автоколебаний балансира зависит как от силы заводного механизма, так и от силы трения. Силе заводного механизма пропорционален момент сил развиваемый спусковым устройством. Но ей же пропорциональны и давление, оказываемое зубьями ходового колеса на палетты вилки балансира, и, следовательно, (с известной степенью точности) момент сил сухого трения, действующий на балансир, т. е.

Рис. 148.

Рис. 149.

Поэтому с той же степенью точности мы можем считать, что коэффициент а значит и амплитуда автоколебаний или не зависят от силы заводного механизма и определяются, в основном, коэффициентом трения зуба ходового колеса о палетту. Период автоколебаний зависит и от и от (графики зависимости от даны на рис. 148 и 149). Количественной мерой стабильности хода часов при изменении силы заводного механизма и коэффициента трения могут служить величины

которые показывают, во сколько раз относительное изменение периода автоколебаний меньше относительного изменения того или иного параметра часов. Как легко подсчитать, исходя из формулы (3.47),

Наилучшая стабильность хода часов при изменении коэффициента трения или получается при однако стабильность хода при изменении силы заводного механизма всегда невелика