3. Условия скачка.

Как мы видели, при переходе к состоянию, совместимому с уравнением первого порядка, скорость системы изменяется очень быстро, координата же системы остается почти неизменной. Но если самый переход совершается достаточно быстро,

нас часто не интересуют его подробности. Мы можем рассматривать этот быстрый переход как мгновенный скачок и ограничиться только определением того конечного состояния, в которое «перескакивает» система и начиная с которого поведение системы определяется уравнением первого порядка (1.47). Мы можем, следовательно, рассматривать систему как не обладающую массой, но должны применить иной метод рассмотрения всего процесса: должны дополнить дифференциальное уравнение первого порядка условием скачка, которое заменило бы нам прежнее рассмотрение кратковременного начального этапа движения, определяя то состояние, в которое приходит система быстрым, «мгновенным» переходом и начиная с которого справедливо уравнение первого порядка. Это условие скачка, по существу являющееся своеобразной формой учета малых параметров (в данном случае — малой массы осциллятора), существенных на начальной стадии движения, формулируется либо на основании рассмотрения системы с учетом этих малых существенных параметров (это регулярный метод), либо на основании тех или иных дополнительных физических соображений или экспериментальных данных.

Условие скачка для рассматриваемого случая можно, очевидно, сформулировать следующим образом. Если начальное состояние системы (заданы, не удовлетворяет уравнению первого порядка (1.47), то система скачком переходит в состояние, совместное с этим уравнением, причем при скачке скорость системы х изменяется мгновенно, а координата х остается неизменной. После такого скачка начинается уже непрерывное движение системы, определяемое уравнением (1.47). Заметим, что здесь при формулировке условия скачка мы, в сущности, руководствовались результатами рассмотрения системы с помощью уравнения второго порядка (1.14), и наш постулат является только упрощенной формулировкой этих результатов.

Условие скачка можно получить и из рассмотрения разбиения фазовой плоскости «полной» системы на фазовые траектории в предельном случае (рис. 33). Обозначив, как обычно, запишем уравнения движения «полной» системы в виде:

На фазовой плоскости х, у фазовой линией системы с степени свободы является прямая

Очевидно, в любой точке фазовой плоскости вне этой прямой (там при остается конечной), т. е. всюду вне прямой (1.56) происходят быстрые, в пределе скачкообразные, изменения состояний системы (скачком меняется скорость Далее, согласно (1.55):

Рис. 33.

Поэтому вне прямой при фазовыми траекториями являются вертикальные прямые По ним изображающая точка скачком (с фазовой скоростью, стремящейся к бесконечности при при скачке х не изменяется) идет к фазовой линии системы с степени свободы — к прямой (1.56),

так как над этой прямой при и под ней Так как все фазовые траектории быстрых скачкообразных движений приходят к прямой то дальнейшее движение изображающей точки происходит по этой прямой (по направлению к состоянию равновесия). Подобными приемами получения условий скачка мы часто будем пользоваться в дальнейшем при рассмотрении «разрывных» колебаний.

Рис. 34.

Поясним наглядно, при помощи чертежей, смысл введенного нами условия скачка. Так как в рассматриваемом случае скачком меняется скорость, то сопоставим диаграмму скорости по времени для случая (уравнение второго порядка) с такой же диаграммой для (уравнениепервого порядка плюс условие скачка).

В начальный момент произвольно могут быть заданы Пусть, например, при Зависимость

скорости от времени, как нетрудно выяснить, следуя уравнению второго порядка, имеет вид, изображенный на рис. 34, А (при построении принято, что Если же мы будем пользоваться уравнением первого порядка, то начальное значение автоматически дает начальное значение и дальнейшее изменение скорости со временем согласно рис. 34, В. Скачок, уничтожающий конфликт между начальными условиями и дифференциальным уравнением первого порядка, изображен на рис. 34, В отрезком

Легко видеть сходство рис. 34, А и S; физический смысл этого сходства был выяснен нами в пункте 2.