6. Классификация траекторий, возможных в грубых системах.

Перейдем теперь к подробной классификации траекторий, возможных в грубых системах.

При этом для определенности предположим, что все траектории системы в точках цикла без контакта, являющегося границей области при возрастании входят внутрь этой области. Мы

получаем 16 различных видов траекторий (на рис. 304 эти виды траекторий изображены под соответствующими номерами). В нижеследующей таблице эти виды траекторий разбиты на пять основных типов.

Особые (орбитно-неустойчивые) траектории

(см. скан)

Неособые (орбитно-устойчивые) траектории

(см. скан)

Как мы видели в § 2 настоящей главы, область О разбивается особыми (орбитно-неустойчивыми) траекториями на элементарные ячейки, заполненные неособыми (орбитно-устойчивыми) траекториями одинакового поведения. При этом все ячейки можно разбить на два класса: на ячейки, примыкающие к циклу без контакта С, ограничивающему рассматриваемую область О, и на внутренние ячейки. Принимая во внимание перечисленные в грубых системах возможные типы траекторий, нетрудно видеть, что каждая внутренняя ячейка имеет в составе своей границы один «элемент притяжения» или «сток», являющийся либо устойчивым узлом или фокусом, либо устойчивым предельным циклом, и один «элемент отталкивания» или «источник», являющийся либо неустойчивым узлом или фокусом, либо неустойчивым предельным циклом.

(кликните для просмотра скана)

Очевидно, «элемент притяжения» или сток — это множество -предельных точек всякой неособой траектории данной ячейки, а элемент отталкивания или источник — множество -предельных точек всякой неособой траектории ячейки (ср. § 3 настоящей главы, пп. 4 и 5). В каждой ячейке, примыкающей к граничному циклу, существует только один элемент притяжения — «сток»: Нетрудно видеть при этом, что роль различных особых траекторий различна.

Фокусы (или узлы) служат источниками или стоками; хотя они и входят в границы ячеек, но они не играют существенной роли при разбиении фазовой плоскости на ячейки. Состояния равновесия типа седел не могут быть элементами притяжения или отталкивания; как и узлы, они входят в границу ячеек; не играя сами по себе существенной роли при разбиении фазовой плоскости на ячейки, они играют важную роль породителей сепаратрис. Сепаратрисы (усы седла) не могут служить ни источниками, ни стоками, они входят в границы ячеек и играют существенную роль при разбиении фазовой плоскости на ячейки, являясь, так сказать, «водоразделами», отделяющими друг от друга траектории различного поведения. Предельные циклы играют существенную роль при разбиении фазовой плоскости на ячейки и одновременно служат элементами притяжения (-предельными множествами) или отталкивания -предельными множествами).

Можно показать (ср. § 3 настоящей главы), что если мы знаем совокупность особых траекторий, именно, знаем взаимное расположение состояний равновесия, предельных циклов и сепаратрис и знаем направление движения по сепаратрисам и предельным циклам, а также знаем характер устойчивости элементов притяжения и отталкивания (узлов, фокусов и предельных циклов), то этих знаний нам достаточно для однозначного установления топологической структуры разбиения на траектории, т. е. для полного качественного исследования грубой динамической системы.