2. Простейшие бифуркации состояний равновесия.

Выскажем сначала несколько простых соображений, касающихся зависимости состояний равновесия от параметра. Во-первых, очевидно (мы уже говорили об этом в связи с так называемой -диаграммой), что при изменении параметра характер состояния равновесия может измениться лишь в том случае, если для соответствующего состояния равновесия либо либо обратится в нуль. Во-вторых, легко видеть, что при наших предположениях и индекс замкнутой кривой

есть непрерывная (и даже аналитическая) функция параметра если только на самой кривой не появляются состояния равновесия; отсюда следует, что при этом условии индекс не меняется при изменении параметра, так как он является целым числом.

Отсюда вытекает, что одно состояние равновесия с индексом, не равным нулю, не может ни появиться, ни исчезнуть при изменении параметра. Если мы имеем простую особую точку — узел, то она может, например, исчезнуть лишь после предварительного слияния с седлом, при котором образуется сложная особая точка с индексом, равным нулю. Обратно, седло или узел могут, например, появиться следующим образом: сначала появляется сложная особая точка с индексом, равным нулю, которая затем разделяется на две: седло и узел.

Отметим, что мы могли бы придти к тем же заключениям, принимая во внимание, что состояния равновесия являются общими точками кривых (изоклин)

Среди сложных особых точек наиболее «простой» является сложная

особая точка, образующаяся от слияния седла и узла. Эта особая точка называется «седло-узел». Можно показать, что окрестность такой особой точки имеет характер, изображенный на рис. 311. Если у рассматриваемой системы при значении есть особая точка «седло-узел», а при всех достаточно близких к значениях системы нет такой точки, то, очевидно, при изменении от значения особая точка седло-узел либо распадается на две: на седло и узел, либо исчезает.

Рис. 311.